数理科学特論 B2 §3 スカラー場の勾配 3.1. スカラー場とベクトル場. • 空間の各点 (x, y, z) に 1 つの実数 φ が対応しているとき, [ が定義されているという. ] • 空間の各点 (x, y, z) に 1 つのベクトル A が対応しているとき, ] 例 3.1. [ が定義されているという. • 流体 (大気, 海水など) の各点における温度 −→ • 流体の各点における流速 −→ [ √ • 原点からの距離 r = x2 + y 2 + z 2 −→ [ ] ] [ • 各点での位置ベクトル r = (x, y, z) −→ ] [ ] スカラー場 φ に対し, 方程式 φ(x, y, z) = c (定数) で定まる曲面を [ ぶ. また, 定数 c を等間隔に複数とったものを [ るのに役立つ. スカラー場の等位面群 ] とよ ] とよび, スカラー場を図示すベクトル場の矢印表示注. スカラー場, ベクトル場が時刻 t によって変化する場合は φ(x, y, z, t), A(x, y, z, t) の形で考察する必要がある. ここではスカラー場, ベクトル場は時刻 t に無関係な場合のみを扱う. 3.2. 勾配. スカラー場φ に対し次の式で定義されるベクトル場を φ の [ ] という. grad φ =[ ] ナブラ形式的に, ∇ =[ grad φ = ] とおくと, [ ] と表せる. 1 2 例題 3.2. φ = x2 y − sin(yz), 例題 3.3. r = √ P(0, 1, π) x2 + y 2 + z 2 3.3. 図形的意味. ∇φ の向き等位面 φ(x, y, z) = c 内の曲線 r = (x(t), y(t), z(t)) は両辺を t で微分すると, すなわち (∇φ)P は点 P を通る等位面の [ ] である. 方向微分係数任意の単位ベクトル e = (ex , ey , ez ) について, 点 P から e 方向に単位長さだけ動くときの φ の値の変化率を, [ ] といい ∂φ で表す. ∂e P から e 方向に s だけ離れた点は (x + ex s, y + ey s, z + ez ) であるから, 方向微分係数は次になる: とくに点 P における方向微分係数は [ ] に等しい. 3 ∇φ の大きさ (∇φ)P と e のなす角を θ とおくと, 方向微分係数はとなり, [ ( P において ∂φ ∂e ) ] のとき最大値 [ ] をとる. すなわち, が最大 ⇐⇒ P まとめ • (∇φ)P の向き – φ が最も増加する向き – 等位面に垂直 • (∇φ)P の大きさは φ の方向微分係数の最大値とくに, 等位面群が [ なほど |∇φ| は小さい. ] なほど |∇φ| は大きく, [ ( 例題 3.4. φ = x log y − x z , 2 3 2 P(3, 1, −1), e= 4 8 1 , , 9 9 9 ] ) 例題 3.5. 球面 S : x2 + y 2 + z 2 = 9 の点 P(2, 1, −2) における単位法ベクトルを求めよ. 4 3.4. 微分公式. 勾配の公式 φ, ψ がスカラー場, f が 1 変数関数のとき, (1) ∇(φ + ψ) = [ [ (3) ∇f (φ) = [ (2) ∇(φψ) = ] ] ] Proof. (1) 略 (2) ∇(φψ) = (3) ∂f (φ) = ∂x ( ) √ 1 例題 3.6. ∇ , ただし r = x2 + y 2 + z 2 r □