2015北海道大学文系1番

2015 北海道大文系
問題 1
2 つの放物線
C1 : y = x2 ,
C2 : y = −(x − 1)2
) (
)
(
がある。a は 0 でない実数とし，C1 上の 2 点 P a, a2 , Q −2a, 4a2 を通る直
線と平行な C1 の接線を ` とする。
(1) ` の方程式を a で表せ。
(2) C2 と ` が異なる 2 つの共有点をもつような a の値の範囲を求めよ。
(3) C2 と ` が異なる 2 つの共有点 R, S をもつとする。線分 PQ の長さと線分
RS の長さが等しくなるとき，a の値を求めよ。
解答
y
(1)
PQ の傾きは
Q
a − 4a
= −a
a − (−2a)
2
2
x = t における C1 の接線が PQ と平行になるのは、
a
2t = −a ⇔ t = −
2
−2a
O
P
a
S
R
よって、` の方程式は
(
a ) a2
y = −a x +
+
2
4
a2
= −ax −
4
(2) C2 と ` が異なる 2 つの共有点をもつのは、
2
− (x − 1) = −ax −
⇔ x2 − (2 + a) x + 1 −
a2
4
a2
1
= 0···
4
が異なる２実数解をもつとき。そのような a は
)
(
a2
2
>0
(2 + a) − 4 1 −
4
∴ a < −2, 0 < a
c
Darumafactory
-1-
x
RadicalMath
1 の２解を α, β とすると、
(3) PQ = RS
⇔ a − (−2a) = |α − β|
2
⇔ (α + β) − 4αβ = 9a2
(
)
a2
2
⇔ (2 + a) − 4 1 −
= 9a2
4
⇔ 7a2 − 4a = 0
a < −2, 0 < a だから、a =
c
Darumafactory
4
7
-2-
RadicalMath

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