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KISOKOU
れんしゅうちょう
がっか
なまえ
がくせきばんごう
統計学 B-II,C-II 練習問題
以下は講義内容にそった練習問題. 巻末に略解があるので復習などに役立ててほしい.
(略記号は講義中に配布した資料や講義ノートを参照すること！)
問 1 (ギリシャ文字).
1. 次の読み方をするギリシャ文字の小文字を記載しなさい (注:
Σ は大文字). (i) シグマ
A
, (ii) ミュー
B
.
2. 統計学の教科書ではギリシャ文字に特別な意味が割り当てられていることが多い. 上
のギリシャ文字にもっとも関連が深いと思われる確率分布の名称を書きなさい. カ
タカナでも漢字でも良いが, セイキ分布は不正解とする1 .
C
分布
問 2 (二次元同時確率密度関数). (X, Y ) ∼ f (x, y) とし, y 軸に関して対称, つまり f (x, y) =
∫
∑
f (−x, y) とする. 以下の確率を求めなさい. (積分記号やを使わずに書くこと. )
(i) P ({3X + Y = 0}) =
(ii) P ({X ≥ 0}) =
D
E
.
.
ただし, ここで中括弧 {· · · } は事象を表す. (講義ではしばしば省略している.)
問 3 (正規分布). 以下について空欄に答えを記載しなさい.
X ∼ N (0, 6) の時, pdf は f (x) =
よう. 期待値は E[Y ] =
記号で書くと,
F
G
. この時, Y = 2X + 12 の従う分布を求め
. 分散は V (Y ) =
Y ∼
I であり, また, pdf は g(y) =
1 − z2
は ϕ(z) = √ e 2 である.
2π
H
J
. したがって, 分布の
. ただし, 標準正規分布の pdf
問 4 (t 分布のスソ確率). テキストの表を用いて以下の数値を求めなさい. なお, t 分布は
原点対称な pdf をもつ.
(a) F ∼ t6 の時, P (F ≥ 3.143) =
(b) U ∼ t12 の時, P (U >
K
L
.
) = P (U ≤ −
(c) Y ∼ t12 の時, P (|Y | ≥
M
) = 0.05.
(d) U ∼ t24 の時, P (|U | ≥
N
) = 0.05.
1
ポアソン分布やガンマ分布でもないんだが.
1
L
) = 0.05.
問 5 (χ2 分布のスソ確率). テキストの表を用いて以下の数値を求めなさい. なお, χ2 分布
は非対称な pdf をもつので注意する.
(a) F ∼ χ26 の時, P (F ≥ 12.59) =
.
O
(b) U ∼ χ212 の時, P (U >
P
) = 0.05.
(c) Y ∼ χ212 の時, P (Y ≥
Q
) = 0.05.
(d) U ∼ χ224 の時, P (U ≥
R
) = 0.05.
問 6 (離散確率変数). インターネット通販サイト「フク天市場」では先週からポイント還
元祭を行っている. ネット上で指定されたボタンをクリックするとランダムに１∼３の数
字のいずれかが表示される. この数字を X とおくと, X の確率は
3
2
1
P (X = 1) = , P (X = 2) = , P (X = 3) = ,
6
6
6
で与えられる2 .
さて, シルバー会員は f (X) = 300X だけポイントがもらえる3 . 今回, 優遇する会員と
してプラチナ会員を設定したい. プラチナ会員は a を定数として h(X) = aX 3 だけポイン
トがもらえるルールにする.
(i) X 3 の期待値は a を用いてかくと E[X 3 ] =
S
.
(ii) シルバー会員とプラチナ会員でもらえるポイントの期待値が同じになるように a を
設定したい. このとき, a =
T
(分数のままでよい).
(iii) シルバー会員とプラチナ会員の比較についてもっとも適切な文章は
U
.
(a) もらえるポイントの期待値は一緒だが, シルバー会員の方が分散が大きく, 優遇
されている.
(b) もらえるポイントの期待値は一緒だが, 最大値はシルバー会員の方が大きく, 優
遇されている.
(c) もらえるポイントの期待値が一緒なので, プラチナ会員が優遇されているとは
いいがたい.
(d) 半分の確率で 1 が表示されるが, その時にもらえるポイント数はシルバー会員
がプラチナ会員の 2 倍以上なのでシルバー会員の方が優遇されている.
2
3
公正を期するためフク天市場では公開しています.
第三回, 第四回を参照. 今回はゴールド会員は関係ない
2
問 7 (式変形). X, Y が独立な正規分布に従う時, aX + bY (a ̸= 0, b ̸= 0) も正規分布に従
う. このことを利用すると, 正規分布に従う幾つかの確率変数たちの和, 差などの分布も
求められる. 以下では,
i.i.d.
X1 , X2 , . . . , Xn ∼ N (µ, σ 2 )
とする. (i) から (iv) の空欄を埋めなさい.
(i) Y = X1 + X2 とおくと Y も正規分布に従う. 期待値は E[Y ] =
V
. 分散は
V (Y ) = V (X1 + X2 ) = V (X1 ) + V (X2 )
が成立している4 から V (Y ) =
とY ∼
X
W
. したがって, 正規分布の記号を用いる
のようにかける. (pdf, ϕ, Φ などを使わずに記載する.)
(ii) 次に X1 +X2 +X3 の分布を求めよう. X1 +X2 +X3 = Y +X3 であり, Y ∼
および X3 ∼ N (µ, σ 2 ) だから, 上と同様にして
X1 + X2 + X3 ∼
Y
X
.
(iii) 同様にして
X1 + X2 + X3 + X4 ∼ N (4µ, 4σ 2 )
をえる. したがって, 一般の n の場合は
X1 + X2 + · · · + Xn ∼
Z
と予想される. (数学的帰納法を用いて示すこともできるが, ここではカンで答えて
よい.)
(iv) 以上の結果が正しいとすると, データの平均 (もしくは µ の推定量)
¯ := X1 + X2 + · · · + Xn
X
n
も正規分布に従うことがわかり,
¯∼
X
Ω
である.
4
X1 , X2 が独立の時, Cov(X1 , X2 ) = 0 を用いた.
3
がっか
がくせきばんごう
なまえ
どれくらいできたかな？
まちがったらふくしゅうしとくんだぜっ
A
σ
B
µ
C
ガウス (正規)
2
D
0
E
1/2
F
G
１２
H
２４
I
N(12,24)
J
1 −
e
48π
K
0.010
L
1.782
( y −12 ) 2
48
1 − 12x
e
12π
M
2.179
N
2.064
O
0.05
P
21.03
Q
21.03
R
36.42
S
23/3
T 1500/23
U
(c)
V
2µ
X
N(2µ ,2σ 2 )
Y
W
N(3µ ,3σ ) Z
2
2σ
2
N(nµ , nσ ) Ω
2
 1 
N µ , σ 2 
 n 

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