プラズマのモデル方程式の定常解の存在と漸近安定性鈴木政尋（東京工業大学情報理工学研究科）本講演では，一次元半空間 R+ := (0, ∞) 上でプラズマ中の正イオンの流れを記述する方程式系 ρt + (ρu)x = 0, ( ) (ρu)t + ρu2 + Kρ x = ρφx , φxx = ρ − e−φ (1a) (1b) (1c) の境界層の存在と漸近安定性について論じる．ここで，ρ, u, φ はそれぞれ，イオン密度，流速，電位を表す未知関数である．また， K は正定数とする．方程式系 (1) に対して次の初期条件及び境界条件を課す． (ρ, u)(0, x) = (ρ0 , u0 )(x), (2) φ(t, 0) = φb . (3) ただし，初期値 (ρ0 , u0 ) は inf ρ0 (x) > 0, x∈R+ lim (ρ0 , u0 )(x) = (ρ+ , u+ ) x→∞ (4) を満たし，φb ，ρ+ ，u+ は与えられた定数とする．また，電位 φ の基準点は無限遠方とする．すなわち， lim φ(t, x) = 0. x→∞ このとき，方程式 (1c) が古典な意味で可解となる為には，ρ+ = 1 が必要条件となる．プラズマが接触する物体の表面に境界層（シース）が形成される条件として，プラズマ物理では “Bohm 条件” u+ < 0, u2+ > K + 1 (5) が知られているが (文献 [2] を参照)，本研究はその数学的な検証を目的としている．具体的には，Bohm 条件 (5) が定常解の存在の為の十分条件を与える事を示 ˜ とは，境界条件 (3) を満たす方程式系 (1) の時間にした．ここで，定常解 (˜ ρ, u˜, φ) 独立な解を意味する． ( ˜ 0) = φb , φ(t, (˜ ρu˜)x = 0, ) ρ˜u˜2 + K ρ˜ x = ρ˜φ˜x , ˜ φ˜xx = ρ˜ − e−φ , ˜ lim (˜ ρ, u˜, φ)(x) = (1, u+ , 0). x→∞ (6a) (6b) (6c) (6d) 定常問題 (6) の可解性を議論する上で，Sagdeev ポテンシャル ∫ ξ u2 u2 V (ξ) := f −1 (η) − e−η dη, φ˜ = f (˜ ρ) := K log ρ˜ + +2 − + 2 2˜ ρ 0 が重要な役割をはたす．u+ 6= 0 のとき，f の逆象は二価となるが，無限遠方の値 ˜ = (1, 0) が含まれる枝を選び，f −1 (φ) ˜ を一価関数として定義する． (˜ ρ, φ) 定理 1. i) 無限遠方の流速 u+ が u2+ ≤ K 又は K + 1 ≤ u2+ を満たすとする．この ˜ が一意的に存在する為の必要十分条件は，とき，定常問題 (6) に単調な解 (˜ ρ, u˜, φ) √ 境界値 φb が V (φb ) ≥ 0 と φb ≥ f (|u+ |/ K) を満たす事である． ii) 無限遠方の流速 u+ が K < u2+ < K + 1 を満たすとする．このとき，定常問題 (6) には自明な解 (1, u+ , 0) 以外に解は存在しない． Bohm 条件 (5) の下では，|u2+ − K + 1| 1 ならば非単調な定常解も構成できる．一方，物理実験で観測されるシース中のイオン密度は単調な関数である事から，本講演では Bohm 条件 (5) を満たす単調な定常解をシースと呼ぶ．方程式系 (1) を無限遠方の値 (1, u+ , 0) で線形化した方程式系のスペクトルの実部は常に零となる為，時間大域的可解性を議論する事は一般には困難である．本研究では，初期摂動に対して空間方向の減衰を仮定して，定理 1 で構成したシースの漸近安定性を示した．定理 2. 無限遠方の流速 u+ が次の条件を満たすとする． u+ < 0, u2+ > (K + 1)2 /K. (7) このとき，ある正定数 ε0 が存在して，|φb | + k(ex/2 (ρ0 − ρ˜), ex/2 (u0 − u ˜))k2 ≤ ε0 ならば，初期値問題 (1)–(3) に x/2 (e (ρ − ρ˜), e x/2 (u − u˜), e x/2 ˜ ∈ (φ − φ)) 2 ∩ C k ([0, ∞); H 2−k (R+ )) k=0 を満たす解 (ρ, u, φ) が一意的に存在する．さらに, 指数的減衰評価 x/2 ˜ k(ex/2 (ρ − ρ˜), ex/2 (u − u˜), ex/2 (φ − φ))(t)k (ρ0 − ρ˜), ex/2 (u0 − u˜))k2 e−αt 2 ≤ Ck(e が成立する．ここで， C と α は t によらない正定数である. 仮定 (7) は Bohm 条件より強い条件であり，この改良は現在考察中である．また，定理 2 では初期摂動に対して指数的な減衰を仮定しているが，代数的な減衰に対しても同様な結果が得られている．ただし，(7) より強い条件が必要となる．記号非負の定数 i ≥ 0 に対して, H i (R+ ) は i 次の Sobolev 空間であり，そのノルムを k · ki とする．参考文献 [1] F. F. Chen, Introduction to Plasma Physics, Plenum, 1974. [2] K.-U. Riemann, The Bohm criterion and sheath formation, J. Phys. D 24 (1991), 493– 518.