keisoku21

復習
ノイズの性質（ランダム雑音）
• 確率過程
ノイズの値は確率的（性質は平均値と分散で表すが、実
際の値は予測不可能）
• 定常過程
ランダムなノイズの平均や分散が、どの時刻においても
変わらない確率過程を定常過程という。
平均、分散
• 非定常過程
変わらない
平均、分散
平均や分散が変化している
平均、分散
変化している
平均、分散
ノイズの性質
• エルゴード性
– 時間平均がどの時間帯をとっても変わらず（定常過程）、
集合平均とも一致する過程をエルゴード過程という
• 集合平均とは多数の標本記録間での平均
う
集合平均が時間平均と一致
アベレージング（例：９回）
測定１
測定２
：
：
測定９
：
：
９回の測定データの加算平均
移動平均法（ＭＡ）
j=
-2
-1
0
1
2
測定データ
×
w(-2)
×
w(-1)
×
w(0)
×
w(1)
×
w(2)
重み
+
y(0)
平滑化された値
単純移動平均法
• 重みが均一（通常の平均）
3点単純移動平均
1
y (i )  ( xi 1  xi  xi 1 )
3
5点単純移動平均
1
y (i )  ( xi  2  xi 1  xi  xi 1  xi  2 )
5
– 両端の信号のないところは
• ０とおく
• ５点と３点を併用する
などすればよい
多項式適合法による移動平均
• Savitzky-Golay法
– 最小二乗法によって多項式（２次式または３次式
）に近時できる点を求める
データ
最小二乗法による
２次の近似曲線
この値を平滑値とする
（この値は移動平均で求
めることができる）
計測工学21
相関関数
単純移動平均の周波数特性
• 位相は変化しない
• 振幅特性（ゲイン）は
1
G
2f
2(1  cos 2f )
ただし t : サンプリング間隔
fs : サンプリング周波数（
f : 信号周波数
M : 移動平均点数
 : Mt [ s ]
 1 / t ）
単純移動平均の遮断周波数
• 遮断周波数fc：ゲインが1／√2となる周波数
• ゲインの式より
1
2f c
2(1  cos 2f c ) 
1
2
これより
f c  1  cos 2f c
したがって
f c  0.443
移動平均点数M（   Mt）は
0.443 1 0.443
M
 
fs
f c t
fc
移動平均点数Mを決定する
• 例）
– サンプリング周波数 fs=1kHz
– 遮断周波数 fc=100Hz の場合には
– M=0.443(1000/100)=4.43となり、切り上げて5点と
する（Mは奇数）
• 例題９．２
– サンプリング周波数fs=10kHz
– M=5
– このときの遮断周波数fc=0.443fs/M
=0.443×10000/5=870Hz
演習
• 単純移動平均の遮断周波数に関する演習を
Excelで行う
相関法
• ２つの時系列信号x(t), y(t)の関係の深さ、類
似度を表す
音の伝播
相関利用の例
A
B
A点で観測
B点で観測
この遅れ時間の測定に相関を利用する
相互相関関数
• 2つのデータ系列 x(t), y(t)について、x(t)とmΔt
だけずらしたy(t)（つまりy(t+mΔt)）の積の平均
を求める
• 式で表すと
1 N 1
xy (m)   x(i) y (i  m)
N i 0
相互相関関数
1
 (m)   x(i) y (i  m)
N
N 1
xy
i 0
m＝０の時
x
x(0)
y
y(0)
10
20
10
20
Φ(m)
m
相互相関関数
1
 (m)   x(i) y (i  m)
N
N 1
xy
i 0
m=5の時
x
x(0)
y
y(5)
Φ(m)
10
20
m
相互相関関数
1
 (m)   x(i) y (i  m)
N
N 1
xy
i 0
m=10の時
x
x(0)
y
y(10)
Φ(m)
10
20
m
相互相関関数
1
 (m)   x(i) y (i  m)
N
N 1
xy
i 0
m=15の時
x
x(0)
y
y(15)
Φ(m)
10
20
m
相関法の注意点
•
相関法を行う前に、データの平均を０にしておく（データから平均を差し引いておく
＝オフセットを除去する）
x(t ), y (t )は平均0のデータであるとする
。
今、オフセットのある
データ
X (t )  x(t )  C , Y (t )  y (t )  D
を観測したとする。こ
1
 XY (m) 
N
の時、 X (t ), Y (t )で相関を求めると
N 1
 X (i)Y (i  m)
i 0
N 1
1

N
 x(i)  C  y(i  m)  D 
1

N
N 1
i 0
 x(i) y(i  m)  Dx(i)  Cy (i  m)  CD
i 0
1 N 1
1
  x(i ) y (i  m)  D
N i 0
N
  xy (m)  CD
となり、オフセットが
N 1
1
x
(
i
)

C

N
i 0
N 1
1
y
(
i

m
)

CD

N
i 0
N 1
1
i 0
大きい場合、相関関数の変化が埋もれて見えにくくなる
自己相関関数
• 相互相関関数の式におけるy(t)をx(t)に置き換え、自分自身
との相関をみる
N 1
1
xx (m) 
N
 x(i) x(i  m)
i 0
• 自己相関関数の性質
– 偶関数 Φxx(m)=Φxx(-m)
– m=0で最大
– 不規則信号では、Φxx(0)以外はΦxx(m)=0
– 周期関数に対しては、Φxx(m)も周期関数
（Φxx(m)が最大となるところで、関数の周期がわかる）
自己相関関数
• 相互相関関数の式におけるy(t)をx(t)に置き換え、自分自身
との相関をみる
N 1
1
xx (m) 
N
 x(i) x(i  m)
i 0
相互相関関数（２つの波形の相関関数）
自己相関関数（１つの波形の相関関数）
x(i)
x(i)
m
y(i+m)
x(i+m)
自己相関関数の性質
• 自己相関関数の性質
– 偶関数 Φxx(m)=Φxx(-m)
-m
m
– m=0で最大(２つの波形の類似度最大)
– 不規則信号では、Φxx(0)以外はΦxx(m)=0
– 周期関数に対しては、Φxx(m)も周期関数
（Φxx(m)が最大となるところで、関数の周期がわかる）

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