プラズマ物理に現れる Euler-Poisson 方程式の解の漸近解析大縄将史, 鈴木政尋, 西畑伸也 (東工大情報理工) 本研究ではプラズマを取り囲む物体の壁面近傍に形成されるシースと呼ばれる境界層について論ずる．プラズマ中の正に帯電したイオンの振舞は以下の EulerPoisson 方程式で記述される: ρt + div(ρu) = 0, (ρu)t + div (ρu ⊗ u) + K∇ρ = ρ∇φ, (1a) (1b) ∆φ = ρ − e−φ . (1c) ここで未知変数 ρ, u, φ は順に正イオンの密度，正イオンの速度，電位を表す．ま N −1 た K は正の物理定数である．N 次元半空間 RN (N = 1, 2, 3) に + := (0, ∞) × R おける初期値境界値問題 (??) の平面定常解の漸近安定性について考える．初期値と境界値は次のように与えられる： inf ρ0 (x) > 0, x∈RN + (ρ, u)(0, x) = (ρ0 , u0 )(x), lim (ρ0 , u0 )(x1 , x0 ) = (ρ+ , u+ , 0, . . . , 0), x1 →∞ φ(t, 0, x0 ) = φb , lim φ(t, x1 , x0 ) = 0, x1 →∞ ρ+ > 0, x0 = (x2 , . . . , xN ). (2) (3) (4) ここで ρ+ , u+ , φb は定数である．Poisson 方程式 (??) の古典解を構成するためには ρ+ = 1 (5) ˜ 1 ) = (˜ ˜ 1 ) とは次を満たが必要となる．また平面定常解 (˜ ρ, u˜, φ)(x ρ, U˜ , 0, . . . , 0, φ)(x すものである． ( (˜ ρU˜ )x1 = 0, ) ρ˜U˜ U˜ + K ρ˜x1 = ρ˜φ˜x1 , (6a) (6b) x1 ˜ φ˜x1 x1 = ρ˜ − e−φ . (6c) プラズマが接触する物体の表面にシースが形成される条件として，プラズマ物理では“ Bohm 条件 ” (BSC) u+ < 0, u2+ > K + 1 が知られている．本研究では (??) の解のうち，特に単調なものをシースと定義し， Bohm 条件の数学的な検証を行う．一次元半空間 R+ = (0, ∞) において方程式系 (??) が定常解を持つための条件は [?] で得られており，さらに単調な定常解（シース）の漸近安定性についても示されている．しかし，安定性解析では Bohm 条件より強い条件が仮定されていた．本研究では RN + (N = 1, 2, 3) における単調な平面定常解の漸近安定性を (BSC) の下で示す． ˜ この問題を解析する際の困難な点は，摂動 (ψ, η, σ) = (log ρ, u, φ) − (log ρ˜, u ˜, φ) が満たす方程式系を漸近状態 (ρ = ρ+ , u = (u+ , 0, . . . , 0), φ = 0) について線形化した方程式系のスペクトルの実部がすべて 0 になることにある．この難点を解決するために，重み付きのエネルギー法を用いる．重み付きの摂 ( ( √ )) 動 (Ψ, H, Σ) := (eβx1 /2 ψ, eβx1 /2 η, eβx1 /2 σ) β ∈ 0, 2 が満たす方程式系を漸近状態について線形化して得られる方程式系 (L) のスペクトルは √ ( ) βu+ 1 β2 µ(iξ) = + i −ξ1 u+ ± Kζ − + 1 − K , ζ := 1 + |ξ|2 − + iβξ1 2 ζ 4 βu+ − iξ1 u+ for ξ ∈ RN 2 となる．ここで後者は N − 1 重の多重度を持つ．定理 1 sup Re (µ(iξ)) = Re (µ(0)) = ξ∈RN β 2 √ ( u+ + K+ 1 1 − β 2 /4 ) . 従って (??) が成立するときは，β 1 とすれば supξ∈RN Re (µ(iξ)) < 0 となり，(L) は線形安定である．一方 u2+ < K + 1 かつ u+ < 0 のとき，supξ∈RN Re (µ(iξ)) > 0 ( √ ) が任意の β ∈ 0, 2 に対して成立し，(L) は線形不安定となる．この予備的な結果から予想されるように，(BSC) の下での単調な平面定常解の漸近安定性が次の定理のように得られる． 2 (N, m) = (1, 2), (2, 3),)(3, 3) とし，(K, u+ ) は (??) を満たすとする．初期値が (定理 αx/2 e (ρ0 − ρ˜), eαx/2 (u − u˜) ∈ H m (RN β (≤ α) , + ) を満たすとき，ある正の定数 ( 0βx/2 ) が存在して |φb | + k e (ρ0 − ρ˜), eβx/2 (u0 − u˜) km ≤ ならば初期境界値問題 (??)–(??) は次を満たすような時間大域解を一意に持つ: ( ) ˜ eβx/2 (ρ − ρ˜), eβx/2 (u − u˜), eβx/2 (φ − φ) (m )2 m ∩ ( ∩ ) ( ) i m−i N ∈ C [0, ∞); H (R+ ) × C i [0, ∞); H m+2−i (RN ) . + i=0 i=0 さらに解の摂動は時間に依らない正の定数 C, γ を用いて次のように評価される： 2 ˜ k(eβx/2 (ρ − ρ˜), eβx/2 (u − u˜))(t)k2m + keβx/2 (φ − φ)(t)k m+2 ≤ Ck(eβx/2 (ρ0 − ρ˜), eβx/2 (u0 − u˜))k2m e−γt . なお，初期摂動 (ρ0 − ρ˜, u0 − u ˜) が x1 → ∞ で代数的に減衰する場合も，時間大域解が存在し，代数的な速さで平面定常解に収束することも示している．記号非負整数 i に対して H i (R+ ) は通常のノルム k · ki を持つ Sobolev 空間を表す． References [1] M. Suzuki, Asymptotic stability of stationary solutions to the Euler-Poisson equations arising in plasma physics, submitted, 2010