多成分プラズマの運動を記述するモデル方程式の定常解について鈴木政尋（東京工業大学大学院情報理工学研究科）本講演では，プラズマが物体と接触する周囲に形成される境界層 (シース) について論ずる．電子と k 種類の正イオンから構成された多成分プラズマの運動は，次の Euler-Poisson 方程式で記述される． (ρi )t + (ρi ui )x = 0, ) (mi ρi ui )t + mi ρi u2i + κTi ρi x = ei ρi φx , i = 1, . . . , k, ) ( k ∑ e0 φ ε0 φxx = ei ρi − e0 ρ0+ exp − . κT0 i=1 ( (1a) (1b) (1c) ここで，ρi , ui , −φ は，それぞれ第 i 番目の正イオン密度，第 i 番目の正イオン速度，電位を表す未知関数である．正定数 mi , ei , Ti は，それぞれ第 i 番目の正イオンの質量，電荷，絶対温度を表す．正定数 e0 , T0 , ρ0+ は，それぞれ電子の電荷，絶対温度，密度基準値を表す．また，κ は Boltzmann 定数，ε0 は誘電率である．半空間 R+ := {x > 0} において，方程式系 (1) の初期値境界値問題を取り扱う．次の初期条件及び境界条件を課す． (ρi , ui )(0, x) = (ρi0 , ui0 )(x), lim (ρi0 , ui0 )(x) = (ρi+ , ui+ ), x→∞ φ(t, 0) = φb . i = 1, . . . , k, (2) (3) ここで，φb , ρ+ , u+ は与えられた定数とする．初期値 (ρi0 , ui0 ) 及び無限遠方の値 (ρi+ , ui+ ) は ( ) inf ρi0 > 0, inf mi u2i0 − κTi > 0, sup ui0 < 0, (4) x∈R+ x∈R+ x∈R+ mi u2i+ ρi+ > 0, − κTi > 0, ui+ < 0 (5) を満たすとする．電位 φ の基準点は無限遠方とする．すなわち，limx→∞ φ(t, x) = 0. このとき，方程式 (1c) が古典な意味で可解となるには，準中性条件が必要となる． k ∑ ei ρi+ − e0 ρ0+ = 0. (6) i=0 多成分プラズマが接触する物体の表面にシースが形成される条件として，一般化された Bohm 条件 B+ := − k ∑ i=1 e20 ρ0+ e2i ρi+ + >0 mi u2i+ − κTi κT0 (7) が知られている．本研究の目的はこの条件を数学的に検証することにある．プラズマが電子と単一種類の正イオンから構成される場合 (k = 1) を議論した既存の成果 [1, 2] では，Bohm 条件は単調な定常解が存在して時間的に安定であるための十分条件であることが示されている．この結果より，シースは単調な定常解に対応すると理解できる．一方，工学的に応用されるプラズマの多くは，電子と複数種類の正イオンから構成され，多成分プラズマにおけるシースの解析がより重要 ˜ を議論する．となる．本講演では多成分プラズマの定常解 (˜ ρ1 , u˜1 , . . . , ρ˜k , u˜k , φ) 定常解の存在を議論する上で，Sagdeev ポテンシャル ( ) ∫ φ˜ ∑ k e0 η −1 ˜ ei fi (ei η) − e0 ρ0+ exp − dη V (φ) := κT0 0 i=1 が重要な役割をはたす．fi は次で定義される． ρ2 u2 u2 fi (˜ ρi ) := κTi log ρ˜i + mi i+ 2i+ − κTi log ρi+ − mi i+ , D(fi ) := 2 2˜ ρi ( ] mi u2i+ . 0, ρi+ κTi 定理 1. 無限遠方の値 (ρ1+ , u1+ , . . . , ρk+ , uk+ ) は (5) 及び (6) を満たすとする. (a) B+ > 0 とする．このとき，ある正定数 δ が存在して，|φb | ≤ δ ならば単調な定常解が一意的に存在する． (b) B+ = 0 とする．このとき，ある正定数 δ が存在して，|φb | ≤ δ かつ V (φb ) ≥ 0 ならば単調な定常解が一意的に存在する． (c) B+ < 0 のとき，定数解 (ρ1+ , u1+ , . . . , ρk+ , uk+ , 0) 以外に定常解は存在しない．無限遠方の値で (1) を線形化した方程式系のスペクトルの実部は常に零となる為，時間大域的可解性を議論することは一般には困難である．本研究では，初期摂動に対して空間方向の減衰を仮定して，定理 1(a) の定常解の漸近安定性を示した．定理 2. 無限遠方の値 (ρ1+ , u1+ , . . . , ρk+ , uk+ ) は (5)–(7) 及び u1+ = · · · = uk+ を満 ∑k たすとする. このとき，ある正定数 ε0 が存在して，β + |φb | + i=1 k(eβx/2 (ρi0 − ρ˜i ), eβx/2 (ui0 − u˜i ))kH 2 ≤ ε0 ならば，初期値問題 (1)–(3) に ( βx/2 ) e (ρi − ρ˜i ), eβx/2 (ui − u˜i ) ∈ ∩2j=0 C j ([0, ∞); H 2−j (R+ )), i = 1, . . . , k, ˜ ∈ ∩2 C j ([0, ∞); H 4−j (R+ )) eβx/2 (φ − φ) j=0 を満たす解 (ρ1 , u1 , . . . , ρk , uk , φ) が一意的に存在する．さらに, 指数的減衰評価 ˜ sup |(ρ1 − ρ˜1 , u1 − u˜1 , . . . , ρk − ρ˜k , uk − u˜k , φ − φ)(t)| ≤ Ce−γt x∈R+ が成立する．ここで， C と γ は t によらない正定数である. 定理 2 では初期摂動に対して指数的な減衰を仮定しているが，代数的な減衰に対しても同様な結果が得られている．記号非負の定数 i ≥ 0 に対して, H i (R+ ) は i 次の Sobolev 空間である．参考文献 [1] Shinya Nishibata, Masashi Ohnawa and Masahiro Suzuki, Asymptotic stability of boundary layers to the Euler-Poisson equation arising in plasma physics, SIAM Math. Anal. 44 (2012), pp761-790. [2] Masahiro Suzuki, Asymptotic stability of stationary solutions to the Euler-Poisson equations arising in plasma physics, Kinetic and Related Models 4 (2010), pp569-588.