Philipps-Universit¨ at Marburg Sommersemester 2015 Fachbereich Mathematik und Informatik Prof. Dr. B. Schmitt, D. Lellek 5. Aufgabenblatt zur Mathematik II Aufgabe 18 (Kontraktive Folgen) ankte Folge, sodass ein 0 ≤ q < 1 existiert mit Es sei (an )n∈N0 eine beschr¨ |an − am | ≤ q|an−1 − am−1 |, (3) n, m ∈ N. Zeige, dass die Folge konvergiert. Aufgabe 19 (Reihen mit alternierender Nullfolge) (4) Sei (ak )k∈N0 eine monoton fallende Nullfolge mit ak ≥ 0, k ∈ N. Zeige, dass die Reihe P P∞ k achst, dass f¨ ur sn = nk=0 (−1)k ak die Teilfolgen k=0 (−1) ak konvergiert. Hinweis: Zeige zun¨ s2n und s2n+1 monoton und beschr¨ ankt sind. Aufgabe 20 (Konvergenz von Reihen) Untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz. (i) P∞ (ii) P∞ (iii) P∞ (iv) P∞ (v) P∞ (8) k k=0 3k k2 k=0 k! kk k=1 (2k−1)k k! k=1 kk k √1 k=1 (−1) k Aufgabe 21 (Nullfolgen und konvergente Reihen) Die Folge (an )n∈N0 sei definiert durch a0 > 0 und an+1 = n X (4*) !−1 ak , n > 0. k=0 Zeige dass die Reihe P∞ k=0 ak divergiert, obwohl (an )n∈N0 eine Nullfolge ist. Die mit einem * markierten Punktzahlen sind Bonuspunkte. Abgabe: Freitag, 29.05.15, vor der Vorlesung.
© Copyright 2024 ExpyDoc
