Humboldt-Universit¨ at zu Berlin, Institut f¨ ur Mathematik Mathematik fu r ChemikerInnen I (Differentialund Integralrechnung) ¨ Caroline L¨obhard Wintersemester 2014/15, L¨osungsvorschl¨age zu Blatt 1, ohne Gew¨ahr, Seite 1 von 3 Aufgabe 1.1. Berechnen Sie jeweils die ersten vier Folgenglieder und zeichnen Sie diese auf einem Zahlenstrahl. a) a1 = (1 + 11 )1 , a2 = (1 + 21 )2 = 94 , a3 = (1 + 13 )3 = b) b1 = 1, b2 = b1 + 1 b1 =1+ 1 1 = 2, b3 = 2 + 1 2 64 27 , a4 = (1 + 14 )4 = = 52 , b4 = 5 2 + 2 5 = 625 256 . 29 10 . c) c1 = (1 + 1)! = 2! = 1 · 2 = 2, c2 = (1 + 2)! = 1 · 2 · 3 = 6, c3 = (1 + 3)! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24, c4 = (1 + 4)! = 5! = 4! · 5 = 120. 2 1 4 3 3 3! = 62 = 3, = 2!(3−2)! 2 5 120 4! 5! = 24 d3 = = 3!(4−3)! 6 = 4, d4 = 4 = 4!(5−4)! = 24 = 5. 5 Bemerkung: Der Binomialkoeffizient ist die Anzahl an M¨oglichkeiten, aus n Elementen k 4 Elemente auszuw¨ ahlen. √ √ √ √ e) Z.B. f¨ ur x = 4 bekommt man: e1 = 1 4 = 4, e2 = 2 4 = 2, e3 = 3 4 ≈ 1, 587, e4 ≈ 4 4 = 1, 414. Diese Folge konvergiert f¨ ur jedes beliebige x > 0 gegen 1. Es ist zum Beispiel e100 ≈ 1, 014, e1000 ≈ 1, 001, etc. d) d1 = = 2! 1!(2−1)! = 2 1 = 2, d2 = Aufgabe 1.2. Die Folgen (un )n∈N und (vn )n∈N seien definiert durch un = 1 , n2 + 1 vn = n2 − 25 . n2 + 1 a) F¨ ur eine nat¨ urliche Zahl n ∈ N gilt: |un | < 1 100 ⇔ n2 1 1 < +1 100 ⇔ n2 + 1 > 100 ⇔ n2 ≥ 100 ⇔ n ≥ 10. Wir w¨ahlen also N = 10. b) F¨ ur eine nat¨ urliche Zahl n ∈ N gilt: 1 350 26 1 < n2 + 1 350 |1 − vn | < ⇔ ⇔ ⇔ 1− n2 − 25 1 < 2 n +1 350 n2 + 1 > 350 · 26 = 9100 ⇔ ⇔ n2 + 1 − n2 + 25 1 < 2 n +1 350 √ n ≥ 9100 ≈ 95, 39. Wir w¨ahlen also N = 96. Informationen zur Vorlesung finden Sie unter www.math.hu-berlin.de/˜loebhard/mathematik fuer chemiker Humboldt-Universit¨ at zu Berlin, Institut f¨ ur Mathematik Mathematik fu r ChemikerInnen I (Differentialund Integralrechnung) ¨ Caroline L¨obhard Wintersemester 2014/15, L¨osungsvorschl¨age zu Blatt 1, ohne Gew¨ahr, Seite 2 von 3 c) (i) Wir ersetzen 1 100 in a) jetzt durch die Variable |0 − un | = |un | < Wir runden 1 ⇔ n2 1 < +1 und berechnen: n2 + 1 > ⇔ 1 ⇔ n2 ≥ 1 ⇔ 1 n≥ . auf und w¨ ahlen also N ∈ N als die n¨achstgr¨oßere nat¨ urliche Zahl. Damit ist Definition 1.7 erf¨ ullt: F¨ ur ein beliebiges > 0 berechnen wir 1 und setzen N als die n¨achstgr¨ oßere nat¨ urliche Zahl. Damit gilt: ∀n ∈ N mit n ≥ N : |0 − un | < . (ii) Wir ersetzen |1 − vn | < 1 350 ⇔ in b) jetzt durch die Variable 1− n2 − 25 < n2 + 1 ⇔ und berechnen genauso wie in b): 26 < +1 n2 ⇔ n2 + 1 > 26 ⇔ n≥ 26 . ahlen also N ∈ N als die n¨achstgr¨oßere nat¨ urliche Zahl. Damit Wir runden 26 auf und w¨ ist, genauso wie in (i), Definition 1.7 erf¨ ullt. Aufgabe 1.3. a) Eine Folge mit drei H¨ aufungspunkten: Definiere an = n mod 3, d.h. an = 0, falls n ein Vielfaches von 3 ist (d.h. n ∈ {3, 6, 9, 12, . . . }), an = 1, falls beim Teilen von n durch 3 der Rest 1 bleibt (d.h. n ∈ {1, 4, 7, 10, . . . }), an = 2, falls beim Teilen von n durch 3 der Rest 2 bleibt (d.h. n ∈ {2, 5, 8, 11, . . . }). Die hierdurch entstehende Folge (an )n∈N = (1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, . . . ) besitzt die drei H¨aufungspunkte 0, 1 und 2. b) Die einfachste Folge mit dem Grenzwert −2 ist die konstante Folge (bn )n∈N = (−2)n∈N = (−2, −2, −2, . . . ). Ein anderes Beispiel ist (˜bn )n∈N = (2 + n1 )n∈N = (3, 3/2, 7/3, 9/4, 11/5, . . . ). c) Folgen ohne H¨ aufungspunkte sind z.B. (cn )n∈N = (n)n∈N = (1, 2, 3, 4, 5, . . . ) oder (˜ cn )n∈N = n ((−2) )n∈N = (−2, 4, −8, 16, −32, . . . ) d) Die Folge (an )n∈N aus a) konvergiert nicht und besitzt einen (sogar drei) H¨aufungspunkte. Sie ist also unbestimmt divergent. Wenn man jedes dritte Folgenglied herausnimmt, dann bekommt man eine konstante Teilfolge: (dn )n∈N = (a3n )n∈N = (a3 , a6 , a9 , . . . ) = (0, 0, 0, 0, . . . ), das ist eine Nullfolge (also eine konvergente Teilfolge). e) Eine rekursiv definierte Nullfolge erh¨alt man z.B. durch 1 d1 = 12 , ∀n ∈ N : dn+1 = d2n (d.h. (dn )n∈N = ( 12 , 14 , 16 , . . . )) Aufgabe 1.4. Es sei x ∈ R und (an )n∈N = (xn )n∈N . Zu zeigen ist (an )n∈N ist Nullfolge ⇔ |x| < 1. a) Im Fall dass x = 0 ist (an )n∈N = (0n )n∈N = (0, 0, 0, . . . ) die konstante Nullfolge. Diese konvergiert nat¨ urlich gegen Null und ist damit eine Nullfolge ist. Jetzt sei x = 0, |x| < 1 und y := 1 |x| − 1. Informationen zur Vorlesung finden Sie unter www.math.hu-berlin.de/˜loebhard/mathematik fuer chemiker Humboldt-Universit¨ at zu Berlin, Institut f¨ ur Mathematik Mathematik fu r ChemikerInnen I (Differentialund Integralrechnung) ¨ Caroline L¨obhard Wintersemester 2014/15, L¨osungsvorschl¨age zu Blatt 1, ohne Gew¨ahr, Seite 3 von 3 1 1 b) Wegen |x| < 1 ist |x| > 1 und somit y := |x| − 1 > 0. 1 1 1 Außerdem gilt 1+y = 1+ 1 −1 = 1 = |x|. |x| |x| c) Es ist |0 − an | = |xn | = |x|n = 1 1+y n = 1 . (1 + y)n Die Bernoulli-Ungleichung von Blatt 0 besagt, dass (1 + y)n ≥ 1 + ny ist, also ist 1 1 ≤ . n (1 + y) 1 + ny Weil 1 + ny > ny folgt |xn | = 1 1 1 ≤ < . (1 + y)n 1 + ny ny d) Es sei nun ein beliebiges > 0 gegeben und wir definieren N ∈ N so, dass N > f¨ ur alle n ∈ N mit n ≥ N wegen c) und den Vorraussetzungen an n und N : |0 − xn | < Wir haben nun also gezeigt, dass gilt: 1 y. Dann gilt 1 1 1 1 1 ≤ < < 1 = 1 = . ny Ny Ny yy |x| < 1 ⇒ (xn )n∈N ist eine Nullfolge. e) Ist |x| ≥ 1, so folgt auch f¨ ur alle n ∈ N, dass |0 − xn | = |x|n ≥ 1 ist. Also findet man zum Beispiel 1 f¨ ur = 2 keine nat¨ urliche Zahl N 1 , so dass f¨ ur n ∈ N mit n ≥ N gilt: |0 − xn | < 12 . Also ist 2 (xn )n∈N keine Nullfolge, d.h., wenn (xn )n∈N eine Nullfolge ist, dann muss |x| < 1 gelten. Informationen zur Vorlesung finden Sie unter www.math.hu-berlin.de/˜loebhard/mathematik fuer chemiker