Blatt 10 Analysis 1 Übungen Wintersemester 2015/16 55. Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz und auf absolute Konvergenz: ∞ ∞ 𝑛−5 (a) ∑ 2 𝑛 +1 u�=0 ∞ (−1)u� (d) ∑ u�=1 √𝑛 ∞ 4 u� (c) ∑ ( ) 𝑛5 5 u�=5 2𝑛 + 1 (b) ∑ 𝑛(𝑛 − 1)2 u�=2 ∞ (e) ∑(−1)u� (1 + u�=1 1 u� ) 𝑛 56. Bestimmen Sie den Wert der Reihe ∞ ∑ u�=1 Hinweis: 1 u�(u�+1)(u�+2) = u� u� + u� u�+1 + 1 . 𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2) u� u�+2 mit geeigneten 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ ℝ. 57. Bestimmen Sie den Wert der Reihe ∞ ∑( u�=1 1 3 u� − ( ) ). 𝑛(𝑛 + 1) 4 (Begründen Sie Ihre Rechenschritte!) 58. Es sei ∑∞ 𝑎 mit 𝑎u� ∈ ℂ ∖ {−1} eine absolut konvergente Reihe. Zeigen u�=0 u� Sie, dass dann auch ∞ 𝑎u� ∑ 𝑎 +1 u�=0 u� absolut konvergiert. (Hinweis: Vergleichskriterium) 59. Es sei ∑∞ 𝑎 eine Reihe (mit 𝑎u� ∈ ℂ). Folgt aus der Konvergenz von u�=0 u� ∞ ∞ ∑u�=0 𝑎u� die Konvergenz von ∑u�=0 𝑎2u� ? Folgt umgekehrt aus der Konvergenz von ∑∞ 𝑎2 die Konvergenz von ∑∞ 𝑎 ? Ändern sich die Antworten, wenn man u�=0 u� u�=0 u� absolute Konvergenz an Stelle von Konvergenz voraussetzt? Geben Sie jeweils einen Beweis oder ein Gegenbeispiel. 60. Für Folgen (𝑎u� )u�∈ℕ und (𝑏u� )u�∈ℕ in ℂ seien die Reihen ∑∞ 𝑎2 und ∑∞ 𝑏2 u�=0 u� u�=0 u� absolut konvergent. Zeigen Sie, dass dann ∑∞ 𝑎 𝑏 und ∑∞ (𝑎 + 𝑏u� )2 absolut u�=0 u� u� u�=0 u� konvergent sind.