1 Einschub: Der große Umordnungssatz Wir wollen hier den großen Umordnungssatz der Analysis kennenlernen, der in der Wahrscheinlichkeitsrechnung wiederholt benötigt wird. Zunächst beginnenP wir mit einem Beispiel, das vor voreiligen Schlüssen k−1 k−1 warnt. Mit der Reihe ∞ k=1 k − k sollte man nicht folgendes machen: 0 = ( 12 − 12 ) + ( 32 − 32 ) + ( 34 − 34 ) + ( 45 − 45 ) + . . . + (− 21 + 23 ) + (− 23 + 43 ) + (− 34 + 45 ) + . . . | {z } | {z } | {z } = 1 2 > 1 2. >0 >0 >0 Das Assoziativgesetz gilt nämlich nur für endliche Summen und nicht für Reihen. Ebenso gilt das Kommutativgesetz nicht für Reihen. Anders sieht es für sog. absolut konvergente Reihen aus. P P∞ Definition 1. Eine Reihe ∞ k=1 ak heißt absolut konvergent, falls k=1 |ak | < ∞. Da die exakte Formulierung des großen Umordnungssatzes sehr technisch ist, verzichten wir darauf. Wir fassen nur seine wesentliche Aussage in Worte: Konvergiert eine Reihe absolut, können wir die Reihenglieder beliebig zu Gruppen zusammenfassen und vertauschen, d.h. “Assoziativ- und Kommutativgesetz gelten”. Bemerkung 1. Will man den großen Umordnungssatz auf obiges P Beispiel anwenden, reicht es nicht die absolute Konvergenz der Reihe ∞ k=1 ak mit k−1 k−1 ak = k − k = 0 nachzuweisen, denn der große Umordnungssatz erlaubt es nicht, ein Reihenglied in mehrere Summanden zu zerlegen. Vielmehr P b mit müsste man die absolute Konvergenz von ∞ k=1 k ( m−1 für k = 2m − 1 m bk = m−1 − m für k = 2m nachweisen. Da diese Reihe aber nicht absolut konvergent ist, darf man den großen Umordnungssatz nicht auf obiges Beispiel anwenden.