Da ≤ totale Ordnung ist, ist |a| wohldefiniert. Lemma 6.6. In einem geordneten Körper K gilt für a, b ∈ K : |a| ≥ 0, | − a| = |a|, |a · b| = |a| · |b| |a + b| ≤ |a| + |b| (Dreiecksungleichung) |a| ≤ b ⇔ −b ≤ a ≤ b Definition 6.7. Sei (K, +, ·, ≤) ein geordneter Körper. (a) Eine Folge in K ist eine Abbildung N → K . Wir schreiben (an )n∈N oder kurz (an ) für die Abbildung n 7→ an . F (K) sei die Menge der Folgen in K . (b) Eine Folge (an )n∈N in K heißt Cauchyfolge, falls gilt: ∀ ∈ K, > 0 ∃n0 ∈ N ∀n, m ∈ N : n, m ≥ n0 ⇒ |an − am | < . CF (K) sei die Menge der Cauchyfolgen in K . (c) Sei a ∈ K . Eine Folge (an )n∈N in K konvergiert gegen a, falls gilt: ∀ ∈ K, > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N : n ≥ n0 ⇒ |an − a| < . a heißt Grenzwert von (an ). Die Folge (an ) nennt man a-Folge. (Man beachte: Grenzwerte von Folgen sind eindeutig, falls sie existieren.) (d) Eine Folge in K , die gegen 0 konvergiert, nennt man Nullfolge. Die Menge der Nullfolgen in K bezeichnen wir mit N F (K). Wir werden hauptsächlich Folgen in Q betrachten, da viele der folgenden Aussagen aber allgemeiner gelten, werden wir sie allgemein formulieren. Sei also K im folgenden immer geordnet und alle Folgen seien Folgen in K , falls nicht anders angemerkt. Beispiel 6.8. Ist K archimedisch angeordnet, dann konvergiert die Folge ( n1 ) gegen 0: Ist > 0, dann wähle n0 ∈ N so, dass n0 · > 1 ist. Lemma 6.9. Jede konvergente Folge in K ist eine Cauchyfolge. Beweis. Sei (an ) eine Folge, die gegen a ∈ K konvergiert. Zu > 0 sei n0 so, dass für n ≥ n0 gilt: |an − a| < 2 . Dann gilt für n, m ≥ n0 |an − am | = |(an − a) + (a − am )| ≤ |an − a| + |a − am | < also ist (an ) Cauchyfolge. 32 + = , 2 2 Die Umkehrung dieser Aussage gilt nicht. Wir werden sehen, dass die Folge vom Anfang Cauchyfolge ist, die nicht konvergiert. Lemma 6.10. Seien (an ), (bn ), (cn ) Folgen, a ∈ K und n0 ∈ N, sodass (an ) und (cn ) a-Folgen sind und für n ≥ n0 gilt an ≤ bn ≤ cn . Dann ist (bn ) a-Folge. Beweis. Zu > 0 sei n˜0 so, dass an ≤ bn ≤ cn , |an − a| < und |cn − a| < für n ≥ n˜0 ist. Für n ≥ n˜0 ist dann − < an − a ≤ bn − a ≤ cn − a < , also |bn − a| < . Definition 6.11. Eine Folge heißt beschränkt, falls es ein c ∈ K gibt mit |an | < c für alle n ∈ N. Lemma 6.12. Jede Cauchyfolge ist beschränkt. Beweis. Sei (an ) Cauchyfolge, n0 so, dass |an − am | < 1 ist für n, m ≥ n0 . Setze c = max{|a1 |, |a2 |, . . . , |an0 |} + 1. Für n ≤ n0 ist offensichtlich |an | < c. Ist n > n0 , dann ist |an | ≤ |an − an0 | + |an0 | < c. Lemma 6.13. Ist (an ) ∈ CF (K) keine Nullfolge, dann gibt es ein n0 ∈ N und k ∈ K, k > 0, sodass entweder an > k ist für alle n ≥ n0 oder an < −k ist für alle n ≥ n0 . Beweis. Sei (an ) keine Nullfolge, d. h. ∃0 > 0 ∀n0 ∈ N ∃ñ ≥ n0 : |añ | ≥ 0 . Sei n0 so, dass |an − am | < 20 für alle n, m ≥ n0 ist. Dann gibt es ñ ≥ n0 wie oben. Ist añ > 0, dann ist für n ≥ ñ an = añ − (añ − an ) > 0 − Setze k = 0 . 2 0 0 = 2 2 Ähnlich geht man für añ < 0 vor. Die Menge F (K) der Folgen in K wird zum kommutativen Ring mit Eins durch (an )+(bn ) = (an + bn ) und (an ) · (bn ) = (an · bn ). Satz 6.14. (a) CF (K) ist ein kommutativer Teilring mit Eins von F (K). (b) Die Summe (das Produkt) einer a-Folge und einer b-Folge ist eine a + b-Folge (a · bFolge). (c) Ist (an ) beschränkt und (bn ) ∈ N F (K), dann ist (an ) · (bn ) ∈ N F (K). (d) Sei (an ) ∈ CF (K). Dann sind äquivalent: (i) (an ) ∈ / N F (K) (ii) Es gibt (bn ) ∈ CF (K), (dn ) ∈ N F (K) mit (an ) · (bn ) = (1) + (dn ). 33 Beweis. (a) Assoziativität, Kommutativität, Distributivität, Eins, Null werden von F (K) geerbt. Zu zeigen ist lediglich, dass CF (K) abgeschlossen ist unter Addition, Multiplikation und add. Inversenbildung. Klar ist: Ist (an ) Cauchyfolge, dann auch (−an ). Zu ε > 0 sei n0 ∈ N so, dass für n, m ≥ n0 gilt |an − am | < 2 und |bn − bm | < 2 . Dann gilt für n, m ≥ n0 |(an + bn ) − (am + bm )| ≤ |an − am | + |bn − bm | < + = . 2 2 Also ist (an ) + (bn ) ∈ CF (K). Für die Multiplikation seien (an ), (bn ) ∈ CF (K) mit |an |, |bn | < c (vgl. Lemma 6.12) und zu gegebenem ε > 0 sei n0 so, dass für n, m ≥ n0 gilt |an − am | < 2c , |bn − bm | < 2c . Sind n, m ≥ n0 , dann ist |an bn − am bm | = |an (bn − bm ) + bm (an − am )| ≤ |an | · |bn − bm | + |bm | · |an − am | <c· +c· = , 2c 2c also (an ) · (bn ) ∈ CF (K). (b) ähnlich wie Teil (a). (c) Ist |an | < c wähle n0 so, dass |bn | < c ist für n ≥ n0 . (d) (i) ⇒ (ii): Sei (an ) ∈ CF (K)\N F (K). Seien n0 ∈ N und k ∈ K wie in Lemma 6.13 Setze 0 falls n ≤ n0 bn := 1 falls n > n0 . an Dann ist (an ) · (bn ) = (0, 0, . . . , 0, 1, 1, . . .) = (1) + (−1, −1, . . . , −1, 0, 0, . . .). Die letztere Folge ist eine Nullfolge, zu zeigen ist, dass (bn ) ∈ CF (K) ist. Zu > 0 sei n˜0 so, dass für n, m ≥ n˜0 gilt |an − am | < k 2 · . Sei nˆ0 = max{n0 , n˜0 }. Sind n, m ≥ nˆ0 , dann ist an − am k 2 < |bm − bn | = = , an · am k2 also (bn ) ∈ CF (K). (ii) ⇒ (i): Angenommen (an ) ist Nullfolge, dann ist nach Teil (c) auch (an ) · (bn ) Nullfolge, aber (1) + (dn ) ist keine. Definition 6.15. Sei R ein kommutativer Ring mit Eins. I ⊆ R heißt Ideal von R, falls gilt: • I 6= ∅ • a, b ∈ I ⇒ a + b ∈ I • a ∈ I, r ∈ R ⇒ ar ∈ I 34