Zusammenfassung Reihen

Zusammenfassung Reihen
Christian Huber
Diese Zusammenfassung ist ein Mix aus dem Skript von Herr Dr. Peer Kunstmann, der allseits
beliebten Wikipedia, diversen anderen Onlinequellen und letztendlich meiner Fantasie ... es
gibt also keine Garantie auf Richtigkeit vor allem nicht bei den Beispielen ;)
1
Definition und Allgemeines
Addiert man die Folgenglieder einer Folge bis zu einem Folgenglied an auf, so erhält man eine neue Folge sN =
a1 + a2 + a3 P
+ ... + aN . Eine solche Folge nennt man Folge der Partialsummen.
∞
Die Summe n=1 an nennt man Reihe. Konvergiert sie, so nennt man dies den Reihenwert. Im Normalfall geht
eine Reihe bei n = 1 los, das muss jedoch nicht so sein.
Im Folgenden sei stets n ∈ N ; x ∈ R ; z ∈ C
1.1
Konvergenz
Eine Reihe konvergiert genau dann, wenn die Folge der Partialsummen konvergiert. Es ist jedoch im Allgemeinen
sehr mühsam die Konvergenz einer Reihe zu überprüfen, indem man die Konvergenz der Partialsummen überprüft.
Dazu gibt es die Konvergenzkriterien.
1.2
Absolute Konvergenz
Eine Reihe konvergiert absolut, wenn die Reihe über die Absolutbeträge konvergiert. Absolute Konvergenz impliziert sofort Konvergenz, jedoch nicht anders herum. Zum Abschätzen von Reihen über Absolutbeträge hilft die
Dreiecksungleichung für unendlich viele Elemente
∞
X
|an | ≥ |
n=1
1.3
∞
X
an |
n=1
Wichtige Reihen
P∞
• Die Harmonische Reihe: n=1 n1
Die Harmonische Reihe ist divergent, obwohl sie eine Nullfolge ist und nicht divergent aussieht
P∞ 1
π2
•
n=1 n2 → 6 war nicht in der Vorlesung dran
P∞
1
• Die geometrische Reihe: n=1 xn → 1−x
1
• Die Exponentialreihe:
• Die Sinusreihe:
P∞
• Die Cosiunsreihe:
2
2.1
zn
n=1 n!
P∞
n=1 (−1)
n
P∞
·
n=1 (−1)
→ ez
z 2n+1
(2n+1)!
n
·
z 2n
(2n)!
→ sin(z)
→ cos(z)
Konvergenzkriterien
Allgemeines
Mithilfe von Konvergenzkriterien können Reihen auf Konvergenz und teilweise auch absolute Konvergenz überprüft
werden. Wichtigstes Kriterium zum Ausschluss von Konvergenz ist dabei, dass die Folge (an ) über die die Summe
gebildet wird stets eine Nullfolge sein muss. Ansonsten würde ja immer mehr dazuaddiert werden und die Reihe
kann niemals konvergieren. Jedoch konvergiert nicht jede Nullfolge, siehe die Harmonische Reihe.
2.2
Leibnizkriterium für alternierende Reihen
P∞
Eine alternierende Reihe ist eine Reihe der Form n=1 (−1)n · an , d.h. das Vorzeichen wechselt. Ist jetzt an eine
monoton fallende Nullfolge, so sagt das Kriterium,
dass sie konvergiert.
P∞
z.B. die alternierende harmonische Reihe n=1 (−1)n · n1 konvergiert, obwohl n1 nicht konvergiert.
2.3
Das Wurzelkriterium
Man untersucht nur die Folge an hinter dem Summenzeichen. Hier wird die n-te Wurzel des Betrags des n-ten
Folgenglieds untersucht. Dies definiert eine neue Folge deren Limes Superior Auskunft über die Reihe gibt gibt.


> 1 : Die Reihe divergiert
p
lim sup n |an | = < 1 : Die Reihe konvergiert absolut

n→∞

= 1 : Keine Aussage möglich
Oft reicht es auch einfach den Limes zu betrachten, da dieser im Falle der Konvergenz der Wurzelfolge mit dem
Limes Superior übereinstimmt.
Das Wurzelkriterium eignet sich besonders gut, wenn die zu untersuchende Folge eine n-te Potenz darstellt, da
sich in diesem Fall die Wurzel rauskürzt.
2.4
Das Quotientenkriterium
Hier wird der Betrag des Quotienten zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder untersucht. Wieder ist der Limes
Superior zu untersuchen.


> 1 : Die Folge divergiert
an+1
lim sup |
| = < 1 : Die Folge konvergiert absolut

an
n→∞

= 1 : Keine Aussage möglich
2
Das Quotientenkriterium eignet sich besonders gut bei Folgen, die eine Fakultät beinhalten, da diese sich beim
Teilen leicht rauskürzen.
2.5
Das Majoranten un Minorantenkriterium
Hierbei wird die Konvergenz bzw Divergenz durch eine Vergleichsfolge abgeschätzt.
2.5.1
Majorantenkriterium
Eine Majorante ist eine Folge, deren n-tes Folgenglied stets größer ist, als der Absolutbetrag einer anderen Folge.
Ist bn eine Majorante
P∞ zu an und ist die Reihe
P∞ über bn konvergent, so ist die Reihe über an absolut konvergent.
D.h. |an | ≤ bn ∧ n=1 bn konvergent ⇒ n=1 an absolut konvergent
2.5.2
Minorantenkriterium
Eine Minorante ist eine Folge, deren n-tes Folgenglied stets kleiner ist, als das n-te Folgenglied einer anderen
Folge. Ist bn eine Minorante zu an und ist bn ≥ 0 und divergent, so divergiert auch die Reihe über an .
2.6
Das Monotoniekriterium
Gilt für eine Folge an > 0 und ist die Folge über die Partialsummen sN beschränkt, dann konvergiert die Reihe
über die Folge an
2.7
Cauchykriterium
Eine Reihe konvergiert wenn:∀ > 0∃n0 ∈ N∀N > M ≥ n0 |
3
PN
n=M +1
an |< .
Das Cauchyprodukt
Das Cauchyprodukt definiert uns, wie man Reihen multipliziert. Dabei ist zu beachten, dass ähnlich wie beim
Abzählen der rationalen Zahlen es darauf ankommt, in welcher Art und Weise man die einzelnen Teilprodukte
zusammenaddiert. Würde man die unendlich vielen Folgenglieder, die in einer Reihe zusammenaddiert werden
alle zuerst mit dem ersten Folgenglied der zweiten Folge multiplizieren, käme man zu keinem Ergebnis. Deshalb
multipliziert man jeweils die diagonalen Folgenglieder. Eine Folge, die diese Diagonalen beschreibt ist
cn =
n
X
ak · bn−k
k=0
Addiert man nun alle Folgenglieder der Folge cn zusammen, kann man alle Teilprodukte erfassen. Das definiert
uns das Cauchyprodukt
∞
X
n=0
cn =
∞ X
n
X
n=0 k=0
3
an · bn−k
Das Cauchyprodukt zweier absolut konvergenter Reihen ist selbst wieder absolut konvergent.
4

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