Probeklausur

¨
Ubungen
zur Linearen Algebra II
Sommersemester 2008
Probeklausur
Mehrere Antworten k¨
onnen richtig sein.
Aufgabe 1. Die quadratischen Formen [1, 1, −1, −1] und [1, −2, 1, −2] sind ¨aquivalent
2 u
¨ber Q.
2 u
¨ber R.
2 u
¨ber C.
Aufgabe 2. Das Lebesgue-Integral
R1
0
f (x)g(x)dx definiert
2 eine positiv definite Bilinearform auf Abb(R, R).
2 ein Skalarprodukt auf C ∞ ([0, 1]).
2 eine symmetrische Bilinearform auf C ∞ ([0, 1]).
2 ein Skalarprodukt auf Abb(R, R).
Aufgabe 3. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
2 Jede symmetrische Matrix u
¨ber R ist diagonalisierbar.
2 Jede symmetrische Matrix u
¨ber C ist selbstadjungiert.
2 Jede normale Matrix u
¨ber C ist symmetrisch.
2 Jede Matrix u
¨ber C mit reellen Eigenwerten ist symmetrisch.
Aufgabe 4. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
2 Jeder Ring ist ein Hauptidealring.
2 Ein kommutativer Ring mit 1 ist genau dann nullteilerfrei, wenn das Nullideal
ein Primideal ist.
2 Ein kommutativer Ring mit 1 ist genau dann ein K¨orper, wenn das Nullideal
ein Primideal ist.
2 Das Bild eines Ringhomomorphismus ist ein Ideal.
2 Der Kern eines Ringhomomorphismus ist ein Ideal.
2 Ein Ringhomomorphismus ist genau dann injektiv, wenn der Kern nur die 1
enth¨
alt.
1
Aufgabe 5. Sei V ein K-Vektorraum. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
2 dimK V = dimK V ∗ .
2 Ist V endlich dimensional, dann ist V kanonisch isomorph zu V ∗ .
2 Ist V endlich dimensional, dann ist V kanonisch isomorph zu V ∗∗ .
2 Es gibt eine kanonische surjektive Abbildung V → V ∗∗ .
2 Ist M ⊆ V eine Teilmenge, dann ist M ◦ ⊆ V ∗ eine Teilmenge.
2 Ist M ⊆ V eine Teilmenge, dann ist M ◦ ⊆ V ∗ ein Teilraum.
2 Gilt M1 ⊆ M2 ⊆ V ∗ , dann ist auch M1◦ ⊆ M2◦ ⊆ V ∗ .
2 F¨
ur jede Teilmenge M ⊆ V ist M = M ◦◦ .
2 F¨
ur jede Teilmenge M ⊆ V ist M ◦ = M ◦◦◦ .
Aufgabe 6. Seien V, W Vektorr¨
aume u
¨ber K und h ∈ HomK (V, W ). h∗ bezeichne
die transponierte Abbildung. Dann gilt:
2 h∗ ∈ HomK (W ∗ , V ∗ ).
2 h∗ ∈ HomK (V ∗ , W ∗ ).
2 (h∗ )∗ ∈ HomK (V ∗∗ , W ∗∗ ).
2 Ist A die Abbildungsmatrix von h in Bezug auf die Basen B1 und B2 , so ist
A auch die Abbildungsmatrix von h in Bezug auf die Dualbasen B2∗ und B1∗ .
Aufgabe 7. Sei (V, <, >) ein euklidischer bzw. unit¨arer Vektorraum und ferner
f ∈ End(V ) selbstadjungiert. Dann gilt:
2 f ist normal.
2 F¨
ur alle v, w ∈ V gilt < f (v), f (w) >=< v, w >.
2 F¨
ur alle λ ∈ Spec(f ) gilt |λ| = 1.
2 F¨
ur alle λ ∈ Spec(f ) gilt λ ∈ R.

1
Aufgabe 8. Gegeben sei die Matrix A = −1
0
Aussagen trifft zu?
2 A ist eine positive Matrix.
2 A ist positiv definit.
2 A ist negativ definit.
2 A ist indefinit.
2 A ist positiv semidefinit.
2
−1
2
−1

0
−1. Welche der folgenden
1

a11
 ..
Aufgabe 9. Sei A = (aij ) ∈ Mn (R) symmetrisch und Ak  .
...
..
.

a1k
..  . Wel. 
ak1
...
akk
che der folgenden Aussagen sind richtig?
2 A ist positiv definit, falls det A > 0 gilt.
2 A positiv definit ⇐⇒ det Ak > 0 f¨
ur alle k.
2 A negativ definit ⇐⇒ det Ak < 0 f¨
ur alle k.
2 Gilt aij > 0 f¨
ur alle i, j, so ist A positiv semidefinit.
Aufgabe 10. Sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum und (ai )i≤n sowie (bi )i≤n
Basen von V . Dann gilt:
2 Die duale Basis (a∗i )i≤n von V ∗ ist gegeben durch a∗i (aj ) = ij.
2 Die duale Basis (a∗i )i≤n von V ∗ ist gegeben durch a∗i (aj ) = 0 f¨
ur i 6= j und
a∗i (ai ) = 1 f¨
ur alle i.
2 Gilt a1 = b1 , so ist auch a∗1 = b∗1 .
Aufgabe 11. Sei (V, <, >) ein endlich dimensionaler unit¨arer Vektorraum. F¨
ur die
Abbildung j : V → V ∗ , v 7→< ·, v > gilt dann:
2 j ist C-linear.
2 j ist konjugiert-linear.
2 F¨
ur jede Orthonormalbasis (ai )i≤n von V und ihre duale Basis (a∗i )i≤n gilt
j(ai ) = a∗i .
Aufgabe 12. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
R1
2 Durch < f, g >:= 0 (f (x) + g(x))dx wird ein Skalarprodukt auf C(R) definiert.
2 Durch β(f, g) := f (1) · g(1) wird eine positiv definite symmetrische Bilinearform auf C(R) definiert.
2 Durch β(f, g) := f (1) · g(1) wird eine positiv semidefinite symmetrische Bilinearform auf C(R) definiert.
Aufgabe 13. Es sei (V, <, >) ein euklidischer oder unit¨arer Vektorraum und
{v1 , . . . , vn } eine Orthonormalbasis von V . Dann gilt:
Pn
2 F¨
ur alle x ∈ V ist x = i=1 < x, vi > vi .
Pn
2 F¨
ur alle x ∈ V ist ||x|| = i=1 | < x, vi > |.
2 Ist < x, vi >= 0 f¨
ur alle i 6= i0 , so ist x = vi0 .
3
Aufgabe 14. Welche der folgenden Matrizen sind u
¨ber R diagonalisierbar?


2 3
4
2 3 −1 √0 
4 0
2


1
0 0
4 0
2  9
−19 3 7


1 0 0
2 0 −1 0 
0 0 π
Aufgabe 15. Sei U ∈ U (n, C) eine unit¨are Matrix. Dann gilt:
2 det U = 1.
2 Die Spaltenvektoren von U bilden eine Orthonormalbasis von Cn .
2 −1, 1, i, −i sind die einzig m¨oglichen Eigenwerte von U .
Aufgabe 16. Seien A, B, C ∈ Mn (R). Ferner gelte B = p(A) und C = q(A) f¨
ur
Polynome p, q ∈ R[X]. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
2 Spec(B) = Spec(C)
2 BC = CB
2 Rang(B) = Rang(C)
Aufgabe 17. Sei A ∈ Mn (R) symmetrisch und positiv definit. Dann gilt:
2 det(A) > 0
2 Es existiert ein B ∈ Mn (R) mit A = t BB
2 t xAy > 0 f¨
ur alle x, y ∈ Rn
Aufgabe 18. Sei K ein K¨
orper und a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn ∈ K × . Ferner sei 1 ≤ k <
n. Der K¨
urzungssatz von Witt lautet:
2 Ist [a1 , . . . , ak ] 6' [b1 , . . . , bk ] und [ak+1 , . . . , an ] 6' [bk+1 , bn ], so ist auch
[a1 , . . . , an ] 6' [b1 , . . . , bn ].
2 Ist [a1 , . . . , an ] ' [b1 , . . . , bn ] und f¨
ur ein k < n auch [a1 , . . . , ak ] ' [b1 , . . . , bk ],
dann ist auch [ak+1 , . . . , an ] ' [bk+1 , bn ].
2 Ist [a1 , . . . , ak ] ' [b1 , . . . , bk ] und [ak+1 , . . . , an ] 6' [bk+1 , bn ], so ist auch
[a1 , . . . , an ] 6' [b1 , . . . , bn ].
2 Ist [a1 , . . . , ak ] ' [b1 , . . . , bk ] und [ak+1 , . . . , an ] ' [bk+1 , bn ], so ist auch
[a1 , . . . , an ] ' [b1 , . . . , bn ].
4
Aufgabe 19. Sei G eine endliche Gruppe und U ≤ G ein Normalteiler von G.
Dann gilt:
2 #U ist ein Teiler von (G : U ).
2 #U ist ein Teiler von #G.
2 G/U ist eine Gruppe mit #G − #U Elementen.
2 Es gibt eine exakte Sequenz 1 → U → G → G/U → 1.
Aufgabe 20. Welche der folgenden Isomorphien endlicher Gruppen sind richtig?
2 Z/6Z ∼
= Z/2Z × Z/3Z
2 Z/4Z ∼
= Z/2Z × Z/2Z
2 S3 ∼
= Z/6Z
5

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