Zusammenfassung der Vorlesung (Woche 10)

Lineare Algebra II
28.04.2015
Zusammenfassung der Vorlesung (Woche 10)
VII.4
Skalarproduktnormen
Satz VII.4.1.pSei V ein euklidischer (oder unitärer) Vektorraum. Die Skalarproduktnorm, die
durch kvk :=
hv, vi deniert ist, ist tatsächlich eine Norm auf V .
Satz VII.4.2 (Cauchy-Schwarz-Ungleichung).
Sei V ein euklidischer (oder unitärer) Vektorraum. Für alle v, w ∈ V gilt
|hv, wi| ≤ kvk · kwk,
mit Gleichheit genau dann, wenn v und w linear abhängig sind.
Denition VII.4.3. Der unorientierte Winkel θ zwischen zwei Vektoren v, w 6= 0 eines euklidischen Raums V ist der einzige θ ∈ [0, π] mit cos(θ) =
hv, wi
·
|vk · kwk
Satz VII.4.4 (Pythagoras). Sei V ein euklidischer (oder unitärer) Vektorraum.
Ist (v1 , . . . , vk ) eine orthogonale Familie, so gilt
kv1 + · · · + vk k2 = kv1 k2 + · · · + kvk k2 .
Ist V euklidisch, so gilt sogar:
v⊥w
⇐⇒
kv + wk2 = kvk2 + kwk2
für alle v, w ∈ V .
Satz VII.4.5 (Cosinussatz). Sei V ein euklidischer Vektorraum. Für alle v, w ∈ V
dann
\ {0} gilt
kv − wk2 = kvk2 + kwk2 − 2kvkkwk cos(θ),
wobei θ der unorientierte Winkel zwischen v und w ist.
Satz VII.4.6 (Parallelogramm-Gleichung). Sei
raum. Für alle v, w ∈ V gilt dann
V ein euklidischer (oder unitärer) Vektor-
kv + wk2 + kv − wk2 = 2(kvk2 + kwk2 ).
Satz VII.4.7 (Polarisationsformeln).
Sei h·, ·i ein Skalarprodukt auf einem euklidischen Vektorraum V . Für alle v, w ∈ V gilt dann
1
hv, wi = (kv + wk2 − kv − wk2 ).
4
Sei h·, ·i ein Skalarprodukt auf einem unitären Vektorraum V . Für alle v, w ∈ V gilt dann
1
i
hv, wi = (kv + wk2 − kv − wk2 ) + (kv + iwk2 − kv − iwk2 ).
4
4
Lineare Algebra II
VII.5
28.04.2015
Orthogonale und unitäre Endomorphismen
Denition VII.5.1. Ein Endomorphismus f
∈ End(V ) eines euklidischen (bzw. unitären) Vektorraums heisst orthogonal (bzw. unitär ), wenn er das Skalarprodukt erhält. D.h., wenn
hf (v), f (w)i = hv, wi
Satz VII.5.2. Ist f
∀v, w ∈ V.
∈ End(V ) orthogonal (bzw. unitär), so gilt:
(i) kf (v)k = kvk für alle v ∈ V .
(ii) v ⊥ w
⇔
f (v) ⊥ f (w).
(iii) Ist V euklidisch, so ist f Winkelstreu.
(iv) Ist λ ein Eigenwert von f , so gilt |λ| = 1.
(v) Eig(f, λ) ⊥ Eig(f, µ) für alle λ 6= µ.
(vi) f ist injektiv.
(vii) Ist dim(V ) < +∞, so ist f invertierbar und f −1 ist auch orthogonal (bzw. unitär).
Behauptung VII.5.3. Ein Endomorphismus
unitär), wenn kf (v)k = kvk für alle v ∈ V gilt.
f ∈ End(V ) ist genau dann orthogonal (bzw.
Satz VII.5.4. Sei V ein endlich-dimensionaler euklidischer (bzw. unitärer) Vektorraum und sei
B = (e1 , . . . , en ) eine Orthonormalbasis von V . Sei f ∈ End(V ). Dann gilt:
f ist orthogonal (bzw. unitär)
⇐⇒
(f (e1 ), . . . , f (en )) ist eine Orthonormalbasis von V.
Denition VII.5.5. Wir denieren die Gruppe
• O(V ) der orthogonalen Endomorphismen des endlich-dimensionalen euklidischen Vektorraums V .
• U (V ) der unitären Endomorphismen des endlich-dimensionalen unitären Vektorraums V .
• O(n) = {A ∈ M(n × n, R) | tA · A = En } der orthogonalen Matrizen.
• U (n) = {A ∈ M(n × n, C) | tA · A = En } der unitären Matrizen.
Behauptung VII.5.6. Sei V ein endlich-dimensionaler euklidischer (bzw. unitärer) Vektorraum
und sei B eine Orthonormalbasis von V . Sei f ∈ End(V ) und sei A = MatB (f ) die darstellende
Matrix von f bezüglich der Basis B. Dann gilt:
f ist orthogonal (bzw. unitär)
⇐⇒ A ∈ O(n) (bzw. A ∈ U (n)).
⇐⇒ die Spalten von A bilden eine Orthonormalbasis von Rn
(bzw. Cn ) bezüglich des kanonischen Skalartprodukts.
⇐⇒ die Zeilen von A bilden eine Orthonormalbasis von Rn
(bzw. Cn ) bezüglich des kanonischen Skalartprodukts.
Lineare Algebra II
Behauptung VII.5.7. Für alle A ∈ O(n) (bzw
28.04.2015
A ∈ U (n)) gilt | det(A)| = 1.
Behauptung VII.5.8. Für eine orthogonale 2 × 2-Matrix A ∈ O(2) gibt es zwei Möglichkeiten.
cos θ − sin θ
(i) A =
für ein θ ∈ [0, 2π[. Diese Matrix ist die darstellende Matrix der
sin θ cos θ
Drehung Rθ um den Nullpunkt in R2 um den Winkel θ.
cos θ sin θ
(ii) A =
für ein θ ∈ [0, 2π[. Diese Matrix ist die darstellende Matrix der
sin θ − cos θ
orthogonalen Spiegelung Sθ an
der Geraden
in R2 durch Null mit Steigung tan 2θ . Ausserdem
1 0
ist A ähnlich zu der Matrix
.
0 −1
Korollar VII.5.9. Die spezielle orthogonale Gruppe SO(2) = {A ∈ O(2) | det(A) = 1} ist die
abelsche Gruppe der Drehungen in R2 .

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