Übung (9) - wie eine typische Klausur

Übung (9) - wie eine typische Klausur
1. Betrachten Sie für a ∈ R die Matrizen Ba =
1
a
1−a 1
.
(a) Für welche Werte von a ∈ R ist die Matrix Ba diagonalisierbar über R / über C / nicht diagonalisierbar?
Rechnen Sie dazu die Eigenwerte aus, dann treffen Sie die geeignete Fallunterscheidung.
(b) Geben Sie für die diagonalisierbaren Fälle allgemein eine Diagonalmatrix Da und eine Transformationsmatrix Ta an, so dass Da = Ta−1 Ba Ta .
→
→
(c) Lösen Sie allgemein für die über R diagonalisierbaren Fälle die DGL −
x ′ (t) = B −
x (t) (die allgemeine
a
Lösung der DGL ist jeweils gefragt).


1 1 −3
→
→
2. Es sei A =  1 2
2  . Entscheiden Sie, was für ein geometrisches Gebilde die Gleichung −
x T A−
x =0
−3 2
3
beschreibt. (Zunächst entscheiden Sie dafür, ob die Matrix positiv oder negativ definit ist - aber das genügt auch
schon, warum?)
−
→
3. Es sei C der Viertelkreisbogen vom Punkt (2, 0) zum Punkt (0, 2) . Es sei f
−
→→ −
Sie das Kurvenintegral C f (−
x )d→
x.


t
→
4. Es sei −
x (t) =  t2  , t ∈ R.
t2
x
y
=
x−y
1+y+x
. Berechnen
(a) Stellen Sie sich vor, wie diese Kurve aussieht.
(b) Berechnen Sie absolute Krümmung κ (t) und Torsion τ (t) . An welcher Stelle haben diese einen Extremwert,
und wie entwickeln sie sich für t → ∞?
√
√
1 + x2 dx = 12 x 1 + x2 +
(c) Parametrisieren Sie die Kurve für t ≥ 0 nach Bogenlänge. Hinweis: Man hat
1
2 arcsinh x.
5. Die Zufallsvariable X sei normalverteilt mit µ (X) = 5 und σ (X) = 2.
(a) Geben Sie das zweiseitige Vertrauensintervall (symmetrisch um µ (X)) zur Wahrscheinlichkeit 0.99 für X.
(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegen von 10 unabhängig genommenen Werten von X wenigstens neun in
dem Intervall aus a?
(c) Wie groß muss man n wenigstens wählen, damit die Streuung von X
(n)
unter 1/10 liegt?
6. Es sei die Zufallsvariable X Poisson-verteilt mit λ = 10.
(a) Wie lange muss man warten, um mit Sicherheit 0.95 wenigstens zwei Treffer gesehen zu haben?
(b) Nun sei eine Population Ω gegeben, Ω = A ∪ B, A ∩ B = ∅, P (A) = 0.4. Die Zufallsvariable Y sei auf
A Poisson-verteilt mit λA = 20, auf B Poisson-verteilt mit λB = 10. Man beobachtet für ein zufällig
ausgewähltes Element ω ∈ Ω den Y − Wert 18. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gehört ω zu A?
1

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