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§8. 最大・最小問題
定理 8.1
有界閉集合 A 上で連続な函数は A で最大値も最小値もとる．
定義 8.2 （記号の定義）
(1) B(a, r) := {x 2 R2 ; kx
(2) B(a, r) := {x 2 R2 ; kx
ak < r}：中心 a，半径 r の開円板．
ak 5 r}：中心 a，半径 r の閉円板．
定義 8.3
def
集合 A ⇢ R2 が有界 (bounded) () 9R > 0 s.t. A ⇢ B(0, R)．
定義 8.4
def
A ⇢ R2 が開集合 () 8a 2 A, 9 > 0 s.t. B(a, ) ⇢ A
（は a に依存しても構わない）．
例 8.5.
開円板 B(b, r) は開集合である．なぜなら，8a 2 B(b, r)
に対して := r
bk > 0 とおくと，B(a, ) ⇢ B(b, r) である．
ka
実際，x 2 B(a, ) ならば，三角不等式より
kx
bk 5 kx
ak + ka
となるから，x 2 B(b, r) である．
例 8.6.
bk < + ka
ka
bk = r
bk
a
r
b
連続函数 f に対して，A := { x ; f (x) > 0 } は開集合である．
なぜなら，a 2 A とすると f (a) > 0．仮定より f は連続ゆえ，
9 > 0 s.t. kx
ak <
=) f (x) > 0.
これは B(a, ) ⇢ A を示している．同様にして，A の定義において不等号を逆向き
にしても，「非等号」6= に変えても，開集合である．
定義 8.7
def
A ⇢ R2 が閉集合 () A の補集合 Ac は開集合．
例 8.8.
閉円板 B(a, r) は閉集合である．なぜなら，それは開集合である円の外部
の補集合であるから．また，円周 kx
合 kx
ak = r も閉集合である．実際，円周の補集
ak =
6 r は，例 8.6 より開集合であるから．
1
• 閉円板 B(a, r) も円周 kx
ak = r も有界閉集合である．
定義 8.9
A ⇢ R2 とする．a 2 R2 が A の境界点
def
() 8" > 0 に対して，B(a, ") は A の点も Ac の点も含む．
• A の境界点からなる集合を @A で表し，A の境界と呼ぶ．明らかに @A = @Ac ．
命題 8.10
(1) A：開集合 =) A \ @A = ?．
(2) A：閉集合 =) @A ⇢ A．
証明.
(1) A が開集合なら，8a 2 A に対して，9 > 0 s.t. B(a, ) ⇢ A．ゆえに
B(a, ) には Ac の点を含まないから，a 2
/ @A．ゆえに A \ @A = ?．
(2) Ac は開集合ゆえ，(1) より Ac \ @A = Ac \ @Ac = ?．これより @A ⇢ A．
⇤
以下現れる函数はなめらかとする．
命題 8.11
開集合 A 上の函数 f が a 2 A で最大値または最小値をとる
=) a は f の停留点．
証明. ある > 0 に対して B(a, ) ⇢ A となっているので，f (a) が最大値なら f (a)
は広義の極大値．ゆえに a は f の停留点．最小値でも同様．
⇤
命題 8.12
閉集合 A 上の函数 f が a 2 A で最大値または最小値をとる
=) a 2 @A か，または a は f の停留点．
証明. a 2 A \ @A なら，9 > 0 s.t. B(a, ) ⇢ A．このとき f は開集合 B(a, ) 上
で最大値または最小値をとるので，命題 8.11 より a は f の停留点である．
⇤
最大・最小問題を条件付き極値問題に帰着させよう．
例題 8.13
x2 + xy + y 2 = 3 のときの f (x, y) := (x + 1)(y + 1) の最大値と最小値を求めよ．
注意 8.14.
一般に 2 次形式 Q(X) := aX 2 + 2bXY + cY 2 が正定値ならば，すなわ
ち a > 0 かつ ac
b2 > 0 ならば，集合 A := {(x 2 R2 ; Q(x) = 1} は有界閉集合で
2
ある．例題 8.13 においては，a = c = 13 ，b =
1
6
であるから，x2 + xy + y 2 = 3 をみ
たす点 (x, y) の全体 N は有界閉集合である（教科書例 6.116 参照）．実際座標変換
✓ ◆
✓
◆✓ ◆ ✓
◆✓ ◆
x
1 1
X
cos ⇡4 sin ⇡4
X
1
= p
=
⇡
⇡
y
1 1
Y
sin 4 cos 4
Y
2
を行えば，x2 + y 2 = X 2 + Y 2 ，xy =
1 (X 2
2
Y 2 ) より
x2 + xy + y 2 = (X 2 + Y 2 ) + 1 (X 2
2
したがって，XY 座標では，N の方程式は
Y 2) = 3 X 2 + 1 Y 2.
2
2
X 2 + Y 2 = 1 となるので，N は楕円．
2
6
解. g(x, y) := x2 + xy + y 2 3 とおくと，gx = 2x + y ，gy = x + 2y であり，係数
✓
◆
2 1
行列
は正則行列であるから，連立方程式 gx = gy = 0 の解は (x, y) = (0, 0)
1 2
のみ．原点は曲線 Ng 上にはないので，Ng は特異点を持たない．ゆえに有界閉集合
Ng 上での f (x, y) の最大値と最小値は，Lagrange の乗数法で求まる点で起こる．
(x2 + xy + y 2
F (x, y) := (x + 1)(y + 1)
3) とおくと，
Fx = Fy = F = 0 ()
y + 1 = (2x + y) · · ·
1
の両辺に x + 2y をかけて
これより (x
(i) y = x を
x + 1 = (x + 2y) · · ·
1
2
2
x2 + xy + y 2 = 3 · · ·
3
を用いると，(y + 1)(x + 2y) = (x + 1)(2x + y)．
y)(2x + 2y + 1) = 0 となるから，y = x または y =
x
1
．
2
に代入して x = y = ±1．そして f (1, 1) = 4，f ( 1, 1) = 0．このと
2
き，前者では = ，後者では = 0．
3
(ii) y = x 12 を 3 に代入して整理すると，4x2 + 2x 11 = 0 となる．よって
p
p
x = 14 1 ± 3 5 ．このとき y = 14 1 ± 3 5 （複号同順）であり，2x + y =
p
3
± 34 5 6= 0 よりが決まる．
4
p
p
p
p
9
f 14 1 ± 3 5 , 14 1 ± 3 5 = 16
1 ± 5 1 ⌥ 5 = 94 .
3
以上から Ng での f の最大値は 4，最小値は
9
．
4
⇤
• Ng が楕円であることがわかると，次ページの図が描ける．
p
p
A± (±1, ±1)， B 14 ( 1 + 3 5 ), 14 (1 + 3 5 ) ，
p
p
C 14 (1 + 3 5 ), 14 ( 1 + 3 5 ) （B と C は直線 y = x に関して対称の位置にある）
とすると
3
y
p p
(
3, 3)
C
9
4
0
1
4A+
O
1
x
A
9
4
p
p
( 3,
3)
B
例題 8.15
D := {(x, y) 2 R2 ; x = 0, y = 0, x + y 5 1} とする．函数
f (x, y) := 3x2 + 2y 2 + 2xy 2x 2y + 1
D における最大値と最小値を求めよ．
解. D は有界閉集合であるから，連続函数 f (x, y) は D で最大値も最小値もとる．
(1) まず D の内部 D := {(x, y) 2 R2 ; x > 0, y > 0, x + y < 1}
で考える．fx = 6x + 2y
2，fy = 4y + 2x
2 より，
⇣
⌘
1, 2 ．
5 5
fx = fy = 0 () 3x + y = 1, x + 2y = 1 () (x, y) =
✓
◆
6 2
そして，fxx = 6，fxy = 2，fyy = 4 より，Hf =
．
2 4
y
1
O
@
@
D@@
1 x
⇣
⌘
⇣
⌘
det Hf 1 , 2 = 20 > 0，かつ (1, 1) 成分 = 6 > 0．ゆえに Hf 1 , 2 は正定値で
5 5
5 5
⇣
⌘
1
2
2
あるから，f は D の点
,
で極小値をとる．
5 5
5
(2) 次に @D で考える．
⇣
⌘
⇣
⌘
1 2 + 1 , f (x, 0) = f (x, 1 x) = 3 x 1 2 + 2 .
f (0, y) = 2 y
2
2
3
3
ゆえに，
0 5 y 5 1 のとき 1 5 f (0, y) 5 1
2
であり，また
0 5 x 5 1 のとき 2 5 f (x, 0) = f (x, 1 x) 5 2.
3
⇣
⌘
1, 2 = 2．
以上により，D での f の最大値は f (1, 0) = 2，最小値は f
5 5
5
4

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