２．論理表現の基礎知識 命題論理(Propositional Calculus) と 述語論理(Predicate Calculus) 2.1 命題論理 (Propositional Calculus) 基本単位：意味のある言明→命題 ↓ （通常、自然言語の１文に相当） 命題が真か偽かのみ に言及する 命題自身を更に分析 することはしない。 真理値 真 ： True T 1 偽 ： False F 0 命題に関する演算 反対命題 ～Ｐ ： Ｐではない （例） Ｐ ： 徳川綱吉は戌年生ま れである。 ～Ｐ ： 徳川綱吉は戌年生ま れでない。 真理値表 Ｐ ～Ｐ ０ １ １ ０ 複合命題 連結詞によって複数の命題をつなぐ Ｐ∩Ｑ Ｐ かつ Ｑ Ｐ∪Ｑ Ｐ または Ｑ Ｐ→Ｑ Ｐ ならば Ｑ Ｐ≡Ｑ Ｐ と Ｑ は等価 Ｐ Ｐ if Ｐ and Ｑ or Ｑ Ｐ then Ｑ equal Ｑ （Ｐ→Ｑ かつ Ｑ→Ｐ） Ｐ／Ｑ Ｐ さもなくば Ｑ Ｐ exclusive Or Ｑ 表記法のバラエティ • • • • ∩，∧，＆ ∪，∨，｜ ⊃，→ ≡，＝ • ／，∨ 連言，論理積， Ａｎｄ，かつ 選言，論理和， Ｏｒ，または 含意，Ｉｍｐｌｉｅｓ，ならば 等価，同値， Ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ，のときだけ 排他的論理和， Ｅｘｃｌｕｓｉｖｅ Ｏｒ， さもなくば 自然言語の連結詞の不確かさ そして、および、または、ならびに、もしくは… そして ∩ → および ∩ ∪ （ならびに） または ∪ ／ （もしくは） 不確かさの例 ｛この家は、駅に近く、そして日当りが良い｝ ∩の意味 ｛太郎は悪戯をした。そして母親に叱られた｝ ∩ではなく、→ ｛法律および政令には全て主任の国務大臣が署名する｝ 法律 ∪ 政令には、全て主任の国務大臣が署名する ｛明日、雨天または強風ならば、花見中止｝ 雨天であり、強風のとき、花見は中止 ｛優勝者には、車１台または賞金２００万円が贈られる｝ 車１台かつ賞金２００万円が贈られることはない 複合命題の真理値表 Ｐ １ １ ０ ０ Ｑ １ ０ １ ０ Ｐ∩Ｑ １ ０ ０ ０ Ｐ∪Ｑ １ １ １ ０ Ｐ→Ｑ １ ０ １ １ Ｐ １ １ ０ ０ Ｑ １ ０ １ ０ ～Ｐ ０ ０ １ １ ～Ｐ∪Ｑ １ ０ １ １ Ｐ→Ｑ １ ０ １ １ Ｐ≡Ｑ １ ０ ０ １ Ｐ／Ｑ ０ １ １ ０ 比較 Ｐ→Ｑ≡～Ｐ∪Ｑ 演習 任意の演算のうち適当な２種類で他を定義でき ることを真理値表で確かめよ。 （ヒント：以下は～と∩で他演算を定義している式の展開である） Ａ∪Ｂ ： ～（～Ａ∩～Ｂ） Ａ≡Ｂ ： （Ａ→Ｂ）∩（Ｂ→Ａ） シェファー(Sheffer)の棒（↑） Ｐ↑Ｑ≡～（Ｐ∩Ｑ） ～Ｐ Ｐ∩Ｑ Ｐ∪Ｑ Ｐ→Ｑ Ｐ≡Ｑ Ｐ／Ｑ ： ： ： ： ： ： Ｐ↑Ｐ （Ｐ↑Ｑ）↑（Ｐ↑Ｑ） （Ｐ↑Ｐ）↑（Ｑ↑Ｑ） Ｐ↑（Ｑ↑Ｑ） （Ｐ↑Ｑ）↑｛ （Ｐ↑Ｐ）↑（Ｑ↑Ｑ）｝ ｛Ｐ↑（Ｑ↑Ｑ）｝↑｛Ｑ↑（Ｐ↑Ｐ）｝ シェファー(Sheffer)の棒（↓） Ｐ↓Ｑ≡～（Ｐ∩Ｑ） ～Ｐ Ｐ∩Ｑ Ｐ∪Ｑ Ｐ→Ｑ Ｐ≡Ｑ Ｐ／Ｑ ： ： ： ： ： ： Ｐ↓Ｐ （Ｐ↓Ｐ）↓（Ｑ↓Ｑ） （Ｐ↓Ｑ）↓（Ｐ↓Ｑ） ｛（Ｐ↓Ｐ）↓Ｑ｝↓｛（Ｐ↓Ｐ）↓Ｑ）｝ ｛Ｐ↓（Ｑ↓Ｑ）｝↓｛Ｑ↓（Ｐ↓Ｐ）｝ （Ｐ↓Ｑ）↓｛ （Ｐ↓Ｐ）↓（Ｑ↓Ｑ）｝ 演習 ① シェファーの２つの棒（↓，↑）での∩と∪、 および≡と／の演算を比較せよ。 ② 適当なひとつの演算を選び、真理値表で確 認せよ。 命題論理とブール代数との対比 Ｕ ：全体集合 Ａ，Ｂ，ＣがＵの部分集合であるとき 許される Ｕ 許されない Ｕ Ａ Ａ 命題論理とブール代数との考え方の違い 命題論理 ブール代数 基本単位 命題 演算 集合 Ｔ 全体集合Ｕ Ｆ 空集合Φ （なし） 部分集合 ∩（連言） ∩（共通部分集合） ∪（選言） ∪（合併集合） ～（否定） ～（補集合） →（含意） ⊂（部分集合） Ａ∪Ｂ Ａ ～Ａ Ａ Ａ∩Ｂ Ｂ Ａ Ｂ Ａ⊂Ｂ Ａ （Ａ → Ｂ と Ａ ⊂ Ｂ の関係について注 意） Ｂ 論理型知識での推論規則 （式の変形で行われる） 変形方法：書き換え規則 （基本） （交換律） （分配律：連結詞が異なる） ０ ∩ Ｐ ≡ ０ Ｐ ∩ Ｑ ≡ Ｑ ∩ Ｐ ０ ∪ Ｐ ≡ Ｐ Ｐ ∪ Ｑ ≡ Ｑ ∪ Ｐ １ ∩ Ｐ ≡ Ｐ （結合律：連結詞が同じ） １ ∪ Ｐ ≡ １ Ｐ ∩ （Ｑ ∩ Ｒ） Ｐ ∩ ～Ｐ ≡ ０ Ｐ ∪ ～Ｐ ≡ １ ～（～Ｐ） ≡ Ｐ （巾等律） Ｐ ∩ Ｐ ≡ Ｐ Ｐ ∪ Ｐ ≡ Ｐ ≡ （Ｐ ∩ Ｑ） ∩ Ｒ Ｐ ∩ （Ｑ ∩ Ｒ） ≡ （Ｐ ∩ Ｑ） ∩ Ｒ Ｐ ∩ （Ｑ ∪ Ｒ） ≡ （Ｐ ∩ Ｑ） ∪ （Ｐ ∩ Ｒ） Ｐ ∪ （Ｑ ∩ Ｒ） ≡ （Ｐ ∪ Ｑ） ∩ （Ｐ ∪ R） （ド・モルガンの補助定理） Ｐ ∩ （～Ｐ ∩ Ｑ） ≡ ０ Ｐ ∪ （～Ｐ ∩ Ｑ） ≡ １ （吸収律） （ド・モルガンの定理） Ｐ ∩ （Ｐ ∪ Ｑ） ～（Ｐ ∪ Ｑ） ≡ （～Ｐ） ∩ （～Ｑ） ～（Ｐ ∩ Ｑ） ≡ （～Ｐ） ∪ （～Ｑ） ≡ Ｐ ∪ （Ｐ ∩ Ｑ） ド・モルガンの定理を真理値表で確認 Ｐ １ １ ０ ０ Ｑ ～Ｐ ～Ｑ １ ０ ０ ０ ０ １ １ １ ０ ０ １ １ Ｐ∩Ｑ １ ０ ０ ０ ～（Ｐ∩Ｑ） ０ １ １ １ （～Ｐ）∪（～Ｑ） ０ １ １ １ ［演習］ 真理値表により、～（Ｐ∪Ｑ）と（～Ｐ）∩（～Ｑ）が等価であることを 確認せよ。 式の書き換え例 （例１） ～（Ｐ∪Ｑ）→（～Ｐ）∩（～Ｑ） ～（～（Ｐ∪Ｑ））∪（（～Ｐ）∩（～Ｑ）） （Ｐ∪Ｑ）∪（（～Ｐ）∩（～Ｑ）） 分配律から （（Ｐ∪Ｑ）∪（～Ｐ））∩（（Ｐ∪Ｑ）∪（～Ｑ）） （（～Ｐ∪Ｐ）∪Ｑ）∩（Ｐ∪（Ｑ∪～Ｑ）） ↓ ↓ １ １ （１∪Ｑ） ∩ （Ｐ∪１） １ ∩ １ ≡ １ （例２） ～（Ｐ∩Ｑ）→（～Ｐ）∪（～Ｑ） ～（～（Ｐ∩Ｑ））∪（（～Ｐ）∪（～Ｑ）） （Ｐ∩Ｑ）∪（（～Ｐ）∪（～Ｑ）） 結合律から （（Ｐ∩Ｑ）∪（～Ｐ））∪（～Ｑ） （（～Ｐ∪Ｐ）∩Ｑ）∩（～Ｑ）） ↓ １ （１∩Ｑ） ∩ （～Ｑ） Ｑ ∩ ～Ｑ ≡ １ 2.2 論理型知識の内容と利用の概要 • 知識の格納 知識の妥当性、矛盾のなさ • 推論 既に格納されている知識を利用して他の 結論を導く。 結論の評価 ＝ 根拠となる主張の適切さ ＋ 導出の適切さ 根拠となる主張の適切さ ＝ 命題そのもの 知識ベースの内容 導出の適切さ ＝ 推論の実行 推論エンジンの機能 根拠となる主張の適切さ （１）意味規定 ①辞書的規定 ： 一般に認められている意味規定 ②一時的規定 ： 与えられた状況に限定した一時的な意味規定 ③提案的規定 ： 辞書的規定に替わる一般的意味規定の提案 （２）事実認識 ①個別的主張 ： 個々の事実を示す主張 ②一般的主張 ： 一般的な事柄に対する主張 Ａ：一般化に関する主張 Ｂ：法則の主張 Ｃ：存在の主張 （３）価値評価 ： 価値・規範を共有している相手との間での価値・規範の評価 ①良悪・善悪評価 ②選択的評価 根拠の例 （１）意味規定 ①辞書的規定 ： 海藻は海の植物である。 ②一時的規定 ： ここでは、ソフトウェア科学は自然科学に含めないこととする。 ③提案的規定 ： 「善悪」とは、結局社会に受け入れられる行為であるかどうかで ある。 （２）事実認識 ①個別的主張 ： 「Ｐｒｏｌｏｇの技芸」の著作者はＳｈａｐｉｒｏである。 ②一般的主張 Ａ：一般化の主張 ： 関西の人は、納豆嫌いである。 Ｂ：法則の主張 ： 酒を呑んで山に入ると、やぶ蚊に刺される。 Ｃ：存在の主張 ： この山のどこかに、大鷲が棲んでいるはずだ。 （３）価値評価 ①良悪・善悪評価 ： このワインはとても美味しい。 ②行動の選択的評価 ： 夏休みには、ぜひ海に行くべきだ。 根拠の確認 （１）意味規定 ①辞書的規定 ： 一般的に認められている意味かどうかを確認 ②一時的規定 ： その状況の中で、規定に従った結果、矛盾が生じないかを検証 ③提案的規定 ： 提案を受け入れるか拒否するか意思決定することが必要 （２）事実認識 ①個別的主張 ： 事実であるかどうかを確認 ②一般的主張 Ａ：一般化の主張 ： 厳密には全てを調査する。統計的に傾向を調べて一般化が妥 当かどうかを調べる。 Ｂ：法則の主張 ： 反復現象に対する調査や因果関係の調査が必要 Ｃ：存在の主張 ： 事実の調査や、目撃か単なる伝聞か等の情報源の妥当性を確 認。 （３）価値評価 ： 価値・規範の基準が共有されていることが必要。相手が異なる 価値・規範を持っていたとしても否定はできない。評価が独断的 であることを示したり、他の評価が客観的であることを示すこと 等の手続きが必要。 導出の適切さ ① 意味に関わるもの→演繹 言語規則に正しく従っているかどうかによる。誤解や規 則違反を犯したとき誤謬が生じる。 ② 事実に関わるもの→推測 ある事実に基づいて、事実から含意されないような他 の事実の成立を結論する。 Ａ：背景法則に基づく推測 Ｂ：仮説形成による推測 Ｃ：帰納法による推測 導出の例 演繹 ●蛙は哺乳類ではない。何故なら卵を産むからね。 ●彼は、今日は自宅かアルバイト先にいると言ってたけど、自宅にいな いから、きっとアルバイト先だと思う。 ●近頃の学生はまじめだ。従って今度の新入生もまじめである。 推測 ●彼は昨夜徹夜で勉強していた。だから、きっと疲れているに違いない。 ●彼は二日酔いだそうだ。彼は、いつも近くのスナックに通っているから、 昨夜はいつものスナックで飲んだのだろう。 ●今まで３回も見合いをして全て断られた。だから今度の見合いもどう せ駄目だろう。 導出＝推論 よく使われる三段論法（ＭｏｄｕｓＰｏｎｅｎｓ） 風が吹く 砂ほこりが立つ 盲人が多くなる 三味線が売れる 猫が殺される ねずみが増える 桶をかじる → → → → → → → 砂ほこりがたつ 盲人が多くなる 三味線が売れる 猫が殺される ねずみが増える 桶をかじる 桶屋が儲かる ∴風が吹く → 桶屋が儲かる 三段論法とは Ｐ∩（Ｐ→Ｑ）→Ｑ 真理値表 Ｐ Ｑ Ｐ→Ｑ Ｐ∩（Ｐ→Ｑ） １ １ ０ ０ １ ０ １ ０ １ ０ １ １ １ ０ ０ ０ Ｐ∩（Ｐ→Ｑ）→Ｑ １ １ １ １ 論理における推論（その１） ①連言 ゆえに ②簡約 ゆえに ③簡約 ゆえに ④付加 ゆえに ⑤付加 ゆえに ⑥後件の簡約 ゆえに ⑦前件の簡約 ゆえに 今日は雨が降る 今日は寒い 今日は雨が降り、寒い 東京は日本の首都で人口１千万以上である 東京は日本の首都である Ａ君は技術者を志望してＫ大学を受験するか または歯医者志望してＳ大学を受験する Ａ君はＫ大学を受験するかＳ大学を受験する Ａ君は胃がんである Ａ君は胃がんか胃潰瘍である Ａ君は数学が得意でない Ａ君は数学と物理学両方ともに得意ということはない 僕はＡ大学に入学すれば 油絵を続けると共に数学を勉強する 僕はＡ大学に入学すれば、数学を勉強する 明日雨が降るか、大雨が吹くなら登山は中止する 明日雨が降れば、登山は中止する Ｐ Ｑ ∴Ｐ∩Ｑ Ｐ∩Ｑ ∴Ｐ （Ｐ∩Ｑ）∪ （Ｒ∩Ｓ） ∴Ｑ∪Ｓ Ｐ ∴Ｐ∪Ｑ ～Ｐ ∴～（Ｐ∩Ｑ） Ｐ→Ｑ∩Ｒ ∴Ｐ→Ｑ （Ｐ∪Ｑ）→Ｒ ∴Ｐ→Ｒ 論理における推論（その２） ⑧肯定式 （単純三段論法） ゆえに ⑨否定式 三角形ＡＢＣでＡＢ＝ＡＣならば、角Ｂ＝角Ｃである 三角形ＡＢＣでＡＢ＝ＡＣである 三角形ＡＢＣで角Ｂ＝角Ｃである Ｓさんがおじさんなら、Ｓさんは男である。 Ｓさんは男ではない ゆえに Ｓさんは、おじさんではない。 ⑩選言三段論法 Ａ君は大学院に進むか、就職する Ａ君は大学院に進まない ゆえに Ａ君は就職する ⑪条件三段論法 風が吹けば盲人が増える 盲人が増えれば三味線が売れる ゆえに 風が吹けば三味線が売れる ⑫選言・三段論法 Ａ君は大学院に進むか、就職する Ａ君は大学院に進むなら、Ｓ大学大学院に進む ゆえに Ａ君はＳ大学大学院に進むか、就職する ⑬ジレンマ 重盛は父の命令に従うなら不忠である 重盛は父の命令に従わないなら親不孝である ゆえに 重盛は不忠であるか、親不孝である Ｐ→Ｑ Ｐ ∴Ｑ Ｐ→Ｑ ～Ｑ ∴～Ｐ Ｐ∪Ｑ ～Ｐ ∴Ｑ Ｐ→Ｑ Ｑ→Ｒ ∴Ｐ→Ｒ Ｐ∪Ｑ Ｐ→Ｒ ∴Ｒ∪Ｑ Ｐ→Ｑ ～Ｐ→Ｒ ∴Ｑ∪Ｒ 演習：以下の導出を演繹と推測に区別せよ ①ツルは天然記念物である。だから、むやみに捕獲したら罰せられる。 ②今まで馬券を買って当たったことがない。だから買ってもどうせはず れるさ。 ③ジョーカを君が持ってるはずないさ。だって、僕の手元にあるもの。 ④彼女、マスクをかけていたけど、スギ花粉症かな。 ⑤ペンギンは哺乳類ではない。なぜならペンギンは鳥類だからさ。 ⑥昨夜、彼は得意先の接待だったから、今朝は疲れているに違いない。 ⑦コンピュータ室の鍵は鈴木君か木村君が持ってるけど、鈴木君は今 日いないから、木村君に借りてくれ。 ⑧今までに付き合った男は、みんなずるかった。だから男はみんなずる いものよ。 ⑨どんな男だってずるいものよ。だから君もずるいに決まってるわ。 推測ということ ①背景法則に基づく推測（背景法則が確からしいものでなければならない） （例）彼は昨日遅くまで呑んでいた。だから、きっと二日酔いだろう。 （背景法則）遅くまで呑んでいれば、二日酔いになるはずだ。 ②仮説形成（証拠となる事実が説明できるか、他の有力な仮説がないか） （例）彼をよくパチンコ屋で見かけるけど、パチンコが好きなのかな。 仮説：彼はパチンコが好きだ → 説明項 仮説形成 ↑ ↓ 説明 証拠：彼をよくパチンコ屋で見かける ← 被説明項 ③帰納法（サンプルの適切さが必要 （例）今まで付き合った男は、みんなずるかった。だから今度の彼もずるい だろう。 （個別の事例を証拠として、一般的主張を結論） ⇔ 演繹 仮説形成での補助前提と消去条件 ①補助前提 証拠 補助前提 仮説 ②消去条件 ：Ａのシャツに血痕があった。 ：被害者は刺されていた。 ：Ａは犯人である。 仮説 仮説形成↑ 証拠＋補助前提 仮説＋補助前提 ↓説明 証拠 証拠 補助前提 消去条件 仮説 ：Ａのシャツに血痕があった。 ：被害者は刺されていた。 ：血痕は被害者の血液型と異なる。 ：Ａは犯人ではない。 仮説 仮説形成 ↑ 証拠＋補助前提＋消去条件 2.3 述語論理による推論 第１階述語論理（First-order Predicate calculus） 命題論理 述語論理 Ｐ１：つばめは鳥である。 鳥（つばめ） Ｐ２：すずめは鳥である。 鳥（すずめ） Ｐ３：こまどりは鳥である。 鳥（こまどり） 述語記号 ：鳥 定数記号 ：つばめ、すずめ、こまどり 素命題 ：鳥（つばめ）、鳥（すずめ）、鳥（こまどり） 集合の定義域 ：｛つばめ，すずめ，こまどり｝ 全称記号 ：∀ｘ ｛ 鳥（ｘ） → 死ぬ（ｘ） ｝ ： ｘは変数 存在記号 ：∃ｘ ｛ 鳥（ｘ） → 飛ぶ（ｘ） ｝ 関数記号 ：Friendly(Child(x), Neighbor(y)) Child, Neighbor を関数記号と呼ぶ （例１） • • • • 全てのリンゴは赤い リンゴはサクランボより大きい 花崗岩は白っぽい 厠橋変電所の地盤は沖積シルトである ： ： ： ： • • • 全ての人間は動物である 全ての女性は人間である 本みかげは花崗岩である ： ∀ｘ 人間（ｘ）→動物（ｘ） ： ∀ｘ 女性（ｘ）→動物（ｘ） ： ∀ｘ 本みかげ（ｘ）→花崗岩（ｘ） • • • 美しい女性もいる 冬眠する哺乳動物もいる 地盤凍結して凍結土層を形成することがある ： ∃ｘ 女性（ｘ）→美しい（ｘ） ： ∃ｘ 哺乳動物（ｘ）→冬眠（ｘ） ： ∃ｘ 地盤凍結→凍結土層形成（ｘ） 赤い（リンゴ） 大きい（リンゴ，サクランボ） 白っぽい（花崗岩） 地盤（厠橋変電所，沖積シルト） （例２） 全ての ………………………………………………………………… である 個体（ｘ）に対して ｘが本みかげ ならば ｘは花崗岩 ∀ ｘ 本みかげ（ｘ） → 花崗岩（ｘ） ある …………………………………………………………………… ことがある 個体（ｘ）に対して ｘが地盤凍結する ならば ｘは凍結土層を形成 ∃ ｘ 地盤凍結（ｘ） → 凍結土層形成（ｘ） 節形式の必要性 推論規則 ∀ｘ Φ（ｘ）のとき 任意の個体Ａに対して Φ（Ａ）とすることができる （例） ∀ｘ 人間（ｘ）→動物（ｘ） 個体“淳子”に対して 人間（淳子）→動物（淳子） とすることができる 節（Clause）形式 • リテラル(Literal) :素命題または素命題の否定 • 節(Clause) :リテラルまたはリテラルの選言 （例） P(x)∪～Q（ｘ，ｆ（ｘ））∪R（ｘ，ｙ） • 節形式の命題 : （例） （∀ｘ１）（∀ｘ２）……（ ∀ｘｎ ）［ Ｃ１∩Ｃ２∩……Ｃｎ ] • 否定形式 : （例） ～｛（∀ｘ）Ｐ（ｘ）｝≡ （∃ｘ）～Ｐ（ｘ） ～｛（∃ｘ）Ｐ（ｘ）｝≡ （∀ｘ）～Ｐ（ｘ） ｛全ての鳥（ｘ）が飛べる｝わけではない≡飛べない鳥（ｘ）が存在する ｛冬眠する犬（ｘ）が存在する｝わけがない≡全ての犬（ｘ）は冬眠しない 任意の式の節形式への変換 ①P→Qを～P∪Qに、A≡Bを（～A∪B）∩（～B∪A）に変換。 ②変数の標準化 （例）（∀ｘ）［～Ｐ（ｘ）∪（∃ｘ）Ｑ（ｘ）］における∀ｘ と ｘ の ｘ は別の変数を表している ので、例えば（∀ｘ）［～Ｐ（ｘ）∪（∃ｙ）Ｑ（ｙ）］とする。 ③否定の範囲を縮小 （例）～（∀ｘ）［Ｐ∩～（Ｑ∩Ｒ）］を（∃ｘ）［～Ｐ∪（Ｑ∩Ｒ）］とする。 ④存在記号を除去 （例）（∀ｘ）（∃ｙ）Ｐ（ｘ，ｙ）は、いかなるｘに対しても、ｘが決まればＰ（ｘ，ｙ）を満足す る ｙ が存在するという意味であるため、 ｙはｘの関数とみなすことができる。 従って（∀ｘ）Ｐ（ｘ，ｆ（ｘ））と書き直す。 ⑤全称記号を前に出す （例）（∀ｘ）［Ｐ（ｘ）∪（∀ｙ）～Ｑ（ｙ）］を、 （∀ｘ） （∀ｙ） ［Ｐ（ｘ）∪～Ｑ（ｙ）］とする。 ⑥連言標準形に変換 （例）（Ａ∩Ｂ）∪（Ｂ∩Ｃ）は、（Ａ∪Ｂ）∩（Ｂ∪Ｃ）∩ Ｂ ∩（Ａ∪Ｃ）、 すなわち（Ａ∪Ｂ）∩（Ｂ∪Ｃ）∩（Ａ∪Ｃ）とする 演習 • 次の命題を節形式に直せ （∀ｘ）（∃ｙ）Ｐ（ｘ，ｙ）∩（∀ｙ）（∀ｚ）［Ｐ（ａ，ｙ）→～Ｑ（ｙ，ｚ）］ →（∀ｕ）（∃ｗ）Ｑ（ｕ，ｗ） ①～（（∀ｘ）（∃ｙ）Ｐ（ｘ，ｙ）∩（∀ｙ）（∀ｚ）［～Ｐ（ａ，ｙ）∪～Ｑ（ｙ，ｚ）］）∪（∀ｕ）（∃ｗ）Ｑ（ｕ，ｗ） ②～（∀ｘ）（∃ｙ）Ｐ（ｘ，ｙ）∪～（∀ｙ）（∀ｚ）［～Ｐ（ａ，ｙ）∪～Ｑ（ｙ，ｚ）］∪（∀ｕ）（∃ｗ）Ｑ（ｕ，ｗ） ③（∃ｘ）（∀ｙ）～Ｐ（ｘ，ｙ）∪（∃ｙ）（∃ｚ）｛～［～Ｐ（ａ，ｙ）∪～Ｑ（ｙ，ｚ）］｝∪（∀ｕ）（∃ｗ）Ｑ（ｕ，ｗ） ④（∃ｘ）（∀ｙ）～Ｐ（ｘ，ｙ）∪（∃ｙ）（∃ｚ）［Ｐ（ａ，ｙ）∩Ｑ（ｙ，ｚ）］｝∪（∀ｕ）（∃ｗ）Ｑ（ｕ，ｗ） ⑤～Ｐ（ｂ，ｙ）∪［Ｐ（ａ，ｃ）∩Ｑ（ｃ，ｆ（ｃ））］｝∪Ｑ（ｕ，ｇ（ｕ）） ⑥［～Ｐ（ｂ，ｙ）∪Ｐ（ａ，ｃ）∪Ｑ（ｕ，ｇ（ｕ））］∩［ ～Ｐ（ｂ，ｙ）∪Ｑ（ｃ，ｆ（ｃ））］｝∪Ｑ（ｕ，ｇ（ｕ））］ 一階述語論理 (Lower Predicate Calculus) • 変数の出現を述語の引数にしか認めない 述語変数を認める（例∀ｐ ｐ（Ａ））ものを２階述語論理、ｎ階の述 語論理を許す論理をｎ＋１階述語論理と呼ぶ。 • 関数の考え方 引数に対して「関数」を適用させ、結果を返す。 人間（父（淳子）） → 動物（父（淳子）） 関数 父（淳子） の結果が貞夫である場合 人間（貞夫） → 動物（貞夫） • 等価の述語（個体間の関係での等価） 全ての述語に対して Ｐ（Ｘ） ≡ Ｐ（Ｙ） ｆ（Ｘ） ≡ ｆ（Ｙ） のときに限り Ｘ＝Ｙ とみなす。 色々な論理 • • • • • • • 命題論理と述語論理 古典論理と直感主義理論（Ｐ∪～Ｐは必ずしもそうではない） 様相論理（Modal Logic : 可能性や必然性を示す論理記号を導入） 非単調論理（Non-monotonic Logic : 不完全な情報に対応） 時相論理（Temporal Logic : 時間の経過の表現） 多ソート論理（Many Sorted Logic : 述語論理に概念間の階層構造） 多層論理（Many Layered Logic : 多ソート論理に巾集合の概念を導入） 巾集合 ： ある集合の全ての部分集合の集合 （例）全ての点の集合の巾集合は線分の集合 • 多値論理（真偽の２値に未知を加えて3値にしたもの、０から１の間 の任意の値をとるファジー論理）
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