Didaktik der Zahlenbereichserweiterung & elementaren Algebra Fachdidaktische Bereiche - Modul 5 Dozent: Prof. Dr. Hans-Stefan Siller Verwendete Literatur • Hasemann, K.; Gasteiger, H. (2014). Anfangsunterricht Mathematik. Heidelberg/ Berlin: Spektrum Akademischer Verlag. • Padberg, F.; Danckwert, R.; Stein, M. (1995). Zahlbereiche – eine elementare Einführung. Heidelberg/Berlin: Spektrum Akademischer Verlag. • Padberg, F. (2005). Didaktik der Arithmetik. Heidelberg/Berlin: Spektrum Akademischer Verlag. • Vollrath, H.-J.; Weigand, H.-G. (2007). Algebra in der Sekundarstufe. München: Spektrum Akademischer Verlag. • (ggf.) weitere Literaturempfehlungen im Laufe des Semesters MOTIVATION, ÜBERBLICK, ZIELE & INHALTE Zahlen!? 42 = 2•3•7 • • 2 ... als Symbol für die Dualität 3 ... als sehr bekannte Zahl mit vielen Belegungen bereits in der Bibel (Dreifaltigkeit, alle guten Dinge sind Drei, ...) • 7 ... eine Zahl mit weiteren Belegungen (Lebenszahl, (Un-)Glückszahl, ...) • ... ist die Antwort auf alles! („Per Anhalter durch die Galaxis“) Alles ist Zahl!? http://geld.bilderu.de/bilder/geld-viel-euro.jpg https://www.youtube.com/watch?v=y42osP2SEgI Bildungsziel des MU • Kulturhistorischer Aspekt • Erkenntnistheoretischer Aspekt • Pragmatischer Aspekt • Schöpferischer Aspekt MU & Allgemein- bildung Winter, H. (1996). Mathematikunterricht und Allgemeinbildung. Mitteilungen der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik, 61, 37-46. • „Erscheinungen der Welt um uns, die uns alle angehen oder angehen sollten, aus Natur, Gesellschaft, und Kultur, in einer spezifischen Art wahrzunehmen und zu verstehen, • mathematische Gegenstände und Sachverhalte, repräsentiert in Sprache, Symbolen, Bildern und Formeln, als geistige Schöpfung, als eine deduktiv geordnete Welt eigener Art kennen zu lernen und zu begreifen, • in der Auseinandersetzung mit Aufgaben Problemlösefähigkeiten, die uöber die Mathematik hinaus gehen (heuristische Fähigkeiten), zu erwerben.“ Zahl als Leitidee im Rahmen der Algebra KMK: Bildungsstandards im Fach Mathematik fuör den Mittleren Schulabschluss. 2004, S. 11f Gleichung Funktion Term Zahl Leitidee Zahl Leitidee Messen Leitidee funkt. Zshg. Leitidee Raum & Form Leitidee Daten & Zufall von der Leitidee Zahl zur elementaren Algebra Vollrath & Weigand (2007): Algebra in der Sekundarstufe. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, S. 7 alt e h s n I as l K Zahl Term Funk tion Gleichu ng 5 6 7 8 9 10 ! Grundrechenarten ", # Neg. Zahlen, Bruchrechnung, Dezimalbrüche # Grundrechenarten # Potenzen mit natürlichen Exponenten $ Quadrieren, Radizieren, Irrationalität $ Potenzrechnung Einfache Terme, Tabellen, Einsetzung Einfache Terme mit Bruöchen, Einsetzung aus Z und Q Einfache Terme mit rationalen Zahlen TermumforTerme mit Terme mit mungen; „ganze“ Quadraten und Potenzen und Terme, Bruchterme Wurzeln trigonometrischen Funktionen Tabellen mit Variablen; Operatoren Tabellen mit Proportionale, Variablen; Bruch- antiproporoperatoren tionale, empirische Funktionen Lineare Fkt; Funktionsgleichungen; Eigenschaften Quadratische Funktionen; Wurzelfkt.; Umkehrfkt. Potenz-,Exponential-; Logarithmusfkt; trigonometrische Fkt. Loösen einfacher G: Probieren, Uöberlegen, Gegenoperatoren Loösen einfacher G durch Gegenoperatoren Aöquivalenzumformungen, Gleichungssysteme, Formeln Quadratische G, Wurzelgleichungen, graphische L. & Naöherung Potenzgl.; Exponentialgleichungen Trigonometrische G Loösen einfacher G durch Gegenoperatoren Inhaltsziele im Algebraunterricht Aufbau des Zahlensystems Funktionale Abhängigkeit(en) • Grundlegende Vorstellungen und Einsichten erarbeiten • Rechenregeln erkennen und sinnvoll anwenden • Grundrechenarten beherrschen • • • – Erkennen, – Beschreiben – Herstellen Variable und Terme • als Ausdrucksmittel kennen lernen • richtig verwenden sowie damit Zusammenhänge beschreiben und verstehen können • damit kommunizieren und argumentieren können erfassen Prototypen (von Funktionen) und ihre Eigenschaften kennen lernen fktale Abhängigkeiten zum von Zusammenhängen nutzen können Gleichungen • • Zusammenhänge zwischen Größen beschreiben können Probleme formulieren und lösen können Grundlagen des Zahlensystems Zahlen • Bigelow, Butchart, J. S. (2005): Number. In: Donald M. Borchert (Hrsg.): Encyclopedia of Philosophy. http://de.wikipedia.org/wiki/Zahl#/media/File:Zahlbereiche.svg ... sind abstrakte, mathematische Objekte beziehungsweise Objekte des Denkens, die sich historisch aus Vorstellungen von Größe und Anzahl entwickelten. Durch eine Messung wird ein als Größe verstandener Aspekt einer Beobachtung mit einer Zahl in Verbindung gebracht, beispielsweise bei einer Zählung. Sie spielen daher für die empirischen Wissenschaften eine zentrale Rolle. Ursprung • talō (urgermanisch) ... Berechnung, Zahl, Rede Wurzel für • zala (althochdt.)... Ordnung, geordnete Darlegung, Bericht, Aufzählung → Ursprung für heutiges Wort: Zahl (!?) • zalōn (althochdt.) ... berichten, (be-)rechnen, zählen, zahlen Zahlen http://www.rechenhilfsmittel.de/zahlen.htm • sind in allen Kulturen (in unterschiedlicher Darstellung) auffindbar – z. B. Römer, Babylonier, Maya, Inder, ... • unterliegen einer Entwicklung – Abstraktion, Weiterentwicklung, Exaktifizierung, ... ... Aufgabe der Arithmetik – Beschreiben → Messen → Rechnen → Beschreiben funktionaler Zusammenhänge → Lösen von Gleichungen ... Aufgabe der Algebra Zahl ⇒ Zahlbereich ⇒ Zahlbereichserweiterung „Problem der Erweiterung“ " ⇔ #0+:= 𝔹 #0+:= 𝔹 " ! # $ % Vorgehensweise • hier üblicher Weg dargestellt → begründete Vorgangsweise!? Allgemein Konstruktion neuer Zahlenmenge aus bekannter als geordnete Paare Einführung einer Äquivalenzrelation und Definition der neuen Zahlen als jeweils eine Äquivalenzklasse Def. der Operationen im neuen Zahlenbereich durch Übertragen der alg. Operationen Einbettung des alten in den neuen Zahlbereich als isomorphe Teilmenge Begründung der Vorgangsweise Kolb, D. (1984). Experiential Learning: experience as the source of learning and development New Jersey: Prentice-Hall Praxis der Mathematik in der Schule: Heft 11 (5/2006) - Oktober/2006, Heft 59/14 - Oktober/2014 Lernen durch (schrittweise) Erweiterung (Lernen vollzieht sich in Schritten → Experiential Learning Cycle) • • • • Grenzen eines Bereiches werden bewusst überschritten. • Ein neuer Bereich eröffnet sich. Neuer Bereich wird erkundet. • Neues entdecken • Vertrautes wiederfinden Neue Erfahrungen mit Zahlen des alten Bereichs • Alter Bereich wird neu gesehen und ist eingebettet in den neuen Bereich. Grundvorstellungen – aktivieren und wandeln! Beispiel: Übergang von ! ⇒ 𝔹