Exemplarisches aus der Angewandten Mathematik

Anforderungen, Themenliste und Literatur
zum Berufsbezogenen Fachseminar
“Exemplarisches aus der Angewandten Mathematik”
Modultitel: Exemplarisches aus der Angewandten Mathematik
Dozent: Dr. Thorsten Rohwedder
Modulzugeh¨origkeit: Lineare Algebra II (Modul 4)
Voraussetzungen: Lineare Algebra und Analytische Geometrie I und II, Analysis I
Zusammenfassung:
Eine Vielzahl angewandter Probleme l¨
asst sich mit Hilfe einer geeigneten mathematischen Modellierung in ein Problem aus einer der vielen Teildisziplinen der Mathematik, etwa der linearen Algebra,
Analysis, Numerik, Zahlentheorie oder Optimierung u
¨bersetzen“. Das Seminar behandelt exem”
plarisch einige solche Probleme von ihrer mathematischen Modellierung bis ihrer algorithmischen
Behandlung durch grundlegende, in diesem Seminar meist numerische Verfahren und gibt dabei
¨
einen Uberblick
u
¨ber einige zentrale Fragestellungen und Antworten der Angewandten Mathematik.
Kriterien f¨
ur Leistungsnachweis:
• Verpflichtende Teilnahme an allen Lehrveranstaltungen
• regelm¨aßige Vor- und Nachbereitung
• Durchf¨
uhrung einer 90-min¨
utigen Seminarsitzung (durch ein bis zwei Studierende)
• Schriftliche Ausarbeitung (4 Seiten pro Referent, plus Literatur und Abbildungen), die sp¨atestens vier Wochen nach dem Vortrag abzugeben ist und die wesentlichen Gedankeng¨ange Ihres
Vortrags, zentrale S¨
atze und Verweise auf die von Ihnen benutzte Literatur enth¨alt.
• Ihre Ausarbeitung und/oder Ihre Vortragsfolien machen Sie bitte auf der Moodle-Seite des
Kurses den anderen Seminarteilnehmern zug¨anglich.
Hinweise zu den Anforderungen:
• In diesem Seminar sollen Sie anhand eines Themas aus dem Bereich der Angewandten Mathematik Ihre Kenntnisse der Linearen Algebra und Analysis exemplarisch anhand einer Anwendung vertiefen. Durch selbstst¨
andige Literaturrecherche auf der Basis der jeweils gegebenen
Literaturvorschl¨
age sollten Sie einerseits ein vertieftes Verst¨andnis Ihres Themas gewonnen
1
haben (um z.B. auf Nachfragen im Anschluss an den Vortrag antworten k¨onnen); andererseits
sollen Sie das Thema f¨
ur eine Sitzung von 90 Minuten adressatengerecht (d.h. f¨
ur Studierende
mit Vorkenntnissen in Linearer Algebra I/II und Analysis I) aufbereiten.
• Zum einen wirken bunte Bilder aus Ihrer jeweiligen Anwendung zum Einstieg oft motivierend;
zum anderen sollte im Zentrum des Vortrages aber der mathematische Kern stehen, der hinter
der von Ihnen vorgestellten Anwendung verborgen ist. Als grobe Daumenregel sollte das folgende dienen: Die Vorstellung Ihrer Anwendung und ihrer Mathematisierung sollte h¨ochstens
50 %, der rein mathematische Teil (Analyse/Behandlung des Problems auf mathematischer
Ebene) mindestens 50 % des Vortrags ausmachen.
• Bewertet wird auch die Art der Pr¨
asentation, z. B. sinnvolle Vortragstechnik und der sinnvolle
Einsatz von Medien.
• Ber¨
ucksichtigen Sie die u
¨blichen Kriterien wissenschaftlichen Arbeitens, z. B. Quellenangaben,
Bildnachweise, Unterscheiden zwischen eigener und fremder Meinung,...
• Etwa eine Woche vor dem Vortrag (z.B. im Anschluss an die vorangehende Seminarsitzung)
sprechen Sie bitte Ihre grobe Planung des Vortrags mit mir ab.
• Wenn Ihnen etwas unklar sein sollte, oder Sie Fragen zum Vortrag haben, fragen Sie bitte!
Hinweise zur Literatur:
• Zu den einzelnen Themen sind jeweils Literaturvorschl¨age angegeben, die Ihnen als Grundlage
f¨
ur den Vorschlag dienen soll. Selbstverst¨andlich ist dar¨
uber hinausgehende Recherche erlaubt
bzw. sogar gewollt.
• Die angegebene Literatur finden Sie in der UB (wenn nichts anderes angegeben ist), online
(im HU-Netz, wenn angegeben, oder per Google), oder bekommen Sie direkt bei mir bzw. auf
der Moodle-Seite des Kurses. Wenn Sie etwas nicht finden, fragen Sie bitte!
• Einige Themen verweisen auch auf Grundliteratur zur Numerik; gemeint sind z.B. diese
B¨
ucher:
Grundlagen der Numerik – Literaturvorschl¨age:
W. Dahmen, A. Reusken, Numerik f¨
ur Ingenieure und Naturwissenschaftler, Springer, 2006 (im
HU-Netz frei!).
P. Deuflhard, A. Hohmann, Numerische Mathematik 1, de Gruyter, 2008 (im HU-Netz frei!).
R.W. Freund, R.H.W. Hoppe (Hrsg.): Stoer/Burlisch, Numerische Mathematik I + II, Springer,
2007 (im HU-Netz frei!).
M. Hanke-Bourgeois, Grundlagen der Numerischen Mathematik und des Wissenschaftlichen Rechnens, Vieweg und Teubner, 2009 (im HU-Netz frei!).
E. S¨
uli, D. Maers: An Introduction to Numerical Analysis, Cambridge Univ. Press, 2003 (im HUNetz frei!).
2
1. Lineare Ausgleichsprobleme und Gleichungssysteme – Computertomographie
(3 Sitzungen)
(1A) Von der Messung zur Normalengleichung
• Modellierung des Problems als lineares Ausgleichsproblem (“Least Squares”, Hochbruck/Sauter)
• Ausgleichsprobleme und Normalengleichung, geometrische Deutung
• kurzer Ausblick: M¨
oglichkeiten zur L¨osung der Normalengleichung u
¨ber Matrixfaktorisierungen (Choleski-Zwerlegung, QR-Faktorisierung, Singul¨arwertzerlegung, s. z.B. Demmel)
Literaturvorschl¨
age:
M. Hochbruck, J. M. Sauter: Mathematik f¨
urs Leben am Beispiel der Computertomographie, Math.
Semesterber. 49 (2002), No. 1, S. 95-113.
Zum linearen Ausgleichsproblem: Grundliteratur zur Numerik, s. Liste oben.
J.W. Demmel: Applied numerical linear algebra, SIAM, 1997.
(1B) L¨
osung der Normalengleichung – Einfache Verfahren fu
¨ r symmetrische LGS
• Warum iterative L¨
oser statt Gauß-Algorithmus? (Aufwandsbetrachtung)
• Gauss-Seidel-Verfahren, SOR-Verfahren – Vorstellung der Verfahren, Konvergenzbeweis
• Kacmarz-Methode zur L¨
osung von LGS (Hackbusch), Konvergenz;
• Numerische Ergebnisse (Hochbruck/Sauter)
Literaturvorschl¨
age:
Zu Gauss-Seidel-Verfahren, SOR-Verfahren: Grundliteratur zur Numerik, s. Liste oben.
W. Hackbusch, Iterative L¨
osung schwachbesetzer großer Gleichungssysteme, Teubner, 1991.
M. Hochbruck, J. M. Sauter: Mathematik f¨
urs Leben am Beispiel der Computertomographie, Math.
Semesterber. 49 (2002), No. 1, S. 95-113.
(1C) L¨
osung der Normalengleichung – Verfahren der konjugierten Gradienten fu
¨r
große, symmetrische Matrizen
• Vorstellung des cg-Verfahrens
• Terminierung nach n Schritten
• cg als iteratives Verfahren
Literaturvorschl¨
age:
Grundliteratur zur Numerik, insb. Hanke-Burgeois, Stoer/Burlisch II, Dahmen/Reusken
W. Hackbusch, Iterative L¨
osung schwachbesetzer großer Gleichungssysteme, Teubner, 1991.
2. Berechnung von Eigenwerten – Der PageRank-Algorithmus von Google (1 Sitzung)
• Von Page-Rank-Problem zur Eigenwertgleichung (Elden, Page)
• Warum nicht u
¨ber das charakteristische Polynom? (Aufwandsbetrachtung)
• Vektoriteration zur Berechnung des gr¨oßten Eigenwertes
• Konvergenz der Vektoriteration, Konvergenzgeschwindigkeit
• Verbesserungen der Vektoriteration (Shift, Inverse Iteration)
Literaturvorschl¨
age:
L. Elden: Matrix Methods in Data Mining an Pattern Recognition, SIAM, 2007 (bei T. Rohwedder).
Konvergenzbeweis der Vektoriteration: Grundliteratur zur Numerik, s. Liste oben, z.B. HankeBourgeous, Deuflhard/Hohmann.
L. Page et al.: The PageRank Citation Ranking: Bringing Order to the Web. Technical Report.
Stanford InfoLab, 1999 (bei T. Rohwedder).
C. Rousseau, Y. Saint-Aubin: Mathematik und Technologie. Springer Spektrum, 2008 (im HU-Netz
frei erh¨altlich!).
3. Singul¨
arwertzerlegung (SVD) von Matrizen – Bildkompression, maschinelle
Erkennung handgeschriebener Texte, usw.
(2 Sitzungen)
• Die Singul¨
arwertzerlegung – Existenz und Eigenschaften
• Abgeschnittene SVDs zur Matrixapproximation, Anwendung Bildkompression (z.B. in Demmel, S. 114ff.)
• Beweis der Bestapproximationseigenschaft (z.B. Elden)
• Anwendung zur Erkennung handgeschriebener Ziffern (Elden)
• Anwendungen: Hauptkomponentenanalyse (PCA), Text Mining, Schl¨
usselwortextraktion (Elden, Kap. 6, 11 und 13)
Literaturvorschl¨
age:
Grundliteratur zur Numerik, s. Liste oben, z.B. Deufhard/Hohmann, Dahmen/Reusken
L. Elden: Matrix Methods in Data Mining an Pattern Recognition, SIAM, 2007 (bei T. Rohwedder).
J.W. Demmel: Applied numerical linear algebra, SIAM, 1997.
4. Newton-Verfahren und Iterationen im Komplexen – Erzeugung von Fraktalen
(1 Sitzung)
• Newton-Verfahren zur L¨
osung nichtlinearer Gleichungen auf R und Rn
• Konvergenzverhalten, lokale “quadratische Konvergenz” des Newtonverfahren (Dahmen/Reusken),
Probleme
• Newton-Verfahren – Anwendung auf komplexe Polynome, Newton-Fraktale
• Erzeugung von Mandelbrotmengen (Ausblick): Dort benutzte Iterationstypen
Literaturvorschl¨
age:
Verfahren und Konvergenz: Grundliteratur zur Numerik, s. Liste oben, z.B. Hanke-Bourgeous,
Dahmen/Reusken
Anwendung auf komplexe Polynome: z.B. Bericht zum Sch¨
ulerprojekt Newton-Fraktale“ an der
”
HU Berlin
Zu Newton-Fraktalen und Mandelbrotmengen gibt es umfangreiche Darstellung im WWW
(auch: Visualisierungen auf YouTube)
5. Reed-Solomon-Codes – Fehlerkorrektur in Daten
(1 Sitzung, Absprache mit Thema 6!)
• Primk¨orper, kleiner Satz von Fermat
• Fehlerkorrektur mit Reed-Solomon-Codes
• Codierung und Decodierung mit euklidischem Algorithmus
Literaturvorschl¨
age:
M. und B. Bossert - Mathematik der digitalen Medien, Kapitel 5, VDE, 2010 (bei T. Rohwedder)
C.K.P Clarke, R&D White Paper, Reed-Solomon error correction“, WHP 031, July 2002.
”
Online erh¨altlich unter http://downloads.bbc.co.uk/rd/pubs/whp/whp-pdf-files/WHP031.pdf
S. S. Adams, Introduction to algebraic coding theory. Skript der Cornell University, 2002.
Online erh¨altlich unter http://www.math.cornell.edu/ web3360/eccbook2007.pdf
Netzrecherche
6. Modulares Potenzieren – Der RSA-Algorithmus in der Kryptographie
(1 Sitzung, Absprache mit Thema 5!)
• Modulares Potenzieren, Satz von Euler-Fermat, Beweis
• Erkl¨arung des RSA-Verfahrens
• Warum ist Verschl¨
usseln mit RSA einfach – und Entschl¨
usseln schwer?
(Erzeugung großer Primzahlen, Primzahltests)
• m¨ogliche Angriffspunkte
Literaturvorschl¨
age:
C. Rousseau, Y. Saint-Aubin: Mathematik und Technologie. Springer Spektrum, 2008 (im HU-Netz
frei zug¨anglich!).
S. M¨
uller-Stach, J. Piontkowski: Elementare und algebraische Zahlentheorie – Ein moderner Zugang
zu klassischen Themen, Springer, 2011. (im HU-Netz frei zug¨anglich!)
Netzrecherche
7. Simplexalgorithmus und Lineare Programme – Optimierung von Produktionsprozessen
(1 Sitzung)
• Anwendungsbeispiele (z.B. einf¨
uhrendes Portfoliobeispiel aus Gill/Murray/Wright 7.2.1, Beispiele aus dem Originalbuch von G.B. Dantzig), konkretes kleines Beispiel f¨
ur Algorithmus
• Lineare Programme
• Der Simplex-Algorithmus
Literaturvorschl¨
age:
Stoer/Burlisch: Numerische Mathematik 1 (s. Liste oben)
P. Gill, W. Murray, M.H. Wright: Numerical linear algebra and optimization, Addison-Wesley, 1991.
G. B. Dantzig: Lineare Programmierung und Erweiterungen, 1966.
P. Ciarlet, Introduction to numerical linear algebra and optimization, Cambridge Texts in Applied
Mathematics, 1989.
8. Das Benford’sche Gesetz – Pru
¨ fung von Daten (1 Sitzung)
• Vorstellung des Benford’schen Gesetzes
• Herleitung der Verteilung aus Skaleninvarianz (z.B. Humenberger)
• andere Eigenschaften der Benford’schen Verteilung
• Anwendungen zur Datenpr¨
ufung (im Netz!)
Literaturvorschl¨
age:
H. Humenberger: Eine elementarmathematische Begr¨
undung des Benford-Gesetzes, Didaktikhefte
¨
der Osterreichischen
Mathematischen Gesellschaft 41 (2009), 49–61.
N. H¨
ungerb¨
uhler: Benfords Gesetz u
uhrende Ziffern: Wie die Mathematik Steuers¨
undern das
¨ber f¨
F¨
urchten lehrt, EducETH, 2007.
A. Berger: A basic theory of Benford’s Law, Probability Surveys Vol. 8 (2011) S. 1–126.
G. Br¨ahler, M. Bensmann, A.-L. Emke: Der Einsatz mathematisch-statistischer Methoden in der
digitalen Betriebspr¨
ufung, Ilmenauer Schriften zur Betriebswirtschaftslehre, 4/2010.
(Alle angegebene Literatur ist online frei verf¨
ugbar.)
9. Fourier-Transformation – Digitalisierung akustischer Signale, MP3 (1 Sitzung)
• Fourier-Transformation f¨
ur Vektoren im Rn (Allgemeine Darstellung f¨
ur Funktionen nicht
n¨otig!)
• Erkl¨arung von Orts- und Frequenzraum am Beispiel akustischer Daten
• Nyquist-Frequenz (Herleitung), verlustfreie“ Digitalisierung, Bedeutung des Abtasttheorems
”
• Ausblick: Grobe Funktionsweise der MP3-Kompression
Literaturvorschl¨
age:
C. Rousseau, Y. Saint-Aubin: Mathematik und Technologie. Springer Spektrum, 2008 (im HU-Netz
frei erh¨altlich!).
Dahmen/Reusken, Hanke-Bourgeois (s. Literatur oben).
T. Huckle, S. Schneider, Numerische Methoden – Eine Einf¨
uhrung f¨
ur Informatiker, Naturwissenschaftler, Ingenieure und Mathematiker, Springer 2006 (im HU-Netz frei zug¨anglich).
Zusammenfassung zu MP3: http://goethe.ira.uka.de/seminare/redundanz/vortrag14/
10. Diskrete Optimierung – Das Travelling Salesman“-Problem
”
• Grundbegriffe der Graphentheorie, das Problem, seine Komplexit¨at und seine Anwendungen
• Vorstellung heuristischer Verfahren, Absch¨atzungen (z.B. Greedy-Algorithmus, N¨achster Nachbar, Spanning Tree, Christofides,...), Aufwandswabsch¨atzungen
• Ausblick: Deterministische Algorithmen, P = NP und Nichtapproximierbarkeit
Literaturvorschl¨
age:
M. Gr¨otschel, Schnelle Rundreisen: Das Travelling-Salesman-Problem. In: Hußmann, Lutz-Westphal
(Hrsg.): Kombinatorische Optimierung erleben. Vieweg, 2007.
B. Korte, J. Vygen, Kombinatorische Optimierung. Theorie und Algorithmen. Springer, 2012. (Im
HU-Netz verf¨
ugbar!)
Website zum TSP von Bill Cook, Geogia Tech, Atlanta: http://www.math.uwaterloo.ca/tsp/
11. Gew¨
ohnliche Differentialgleichungen – Simulation dynamischer Prozesse
(1 Sitzung)
• Beispiel f¨
ur gew¨
ohnliche Differentialgleichungen (Einleitung Deuflhard/Bornemann), z.B. Modellierung chemischer Reaktionen
• Explizites und implizites Euler-Verfahren, Konvergenz f¨
ur kleine Schrittweiten h
• Ausblick: Verfahren h¨
oherer Ordnung (Runge-Kutta)
• Eventuell weitere Anwendungen, z.B. R¨auber-Beute-Modell, Scrapie-Krankheit (s. auch Deuflhard/Bornemann)
Literaturvorschl¨
age:
Deuflhard, Bornemann, Numerische Mathematik 2 - Gew¨ohnliche Differentialgleichungen,
de Gruyter, 2008.
Grundliteratur zur Numerik, s. Liste oben, z.B. Hanke-Bourgeois, Stoer/Burlisch, Dahmen/Reusken.
K. Velten, Mathematical Modeling and Simulation, Wiley-VCH, 2009.
12. Finite Elemente – Modellierung komplexer physikalischer Ph¨
anomene in den
Ingenieurswissenschaften
(1 Sitzung)
• Partielle Differentialgleichungen (einfache Prototypen!) und deren schwache Formulierung
• Galerkin-Ansatz
• Finite-Element-R¨
aume und Matrixformulierung
• Anwendungsbeispiele
Literaturvorschl¨
age:
E. S¨
uli/D. Maers, Hanke-Bourgeous (s. Literatur oben)
Anwendungen: Dahmen/Reusken, Kap. 14.5.2 (Simulation der Str¨omung in einer Blutpumpe) und
14.5.3 (Str¨omung an einem Flugzeugfl¨
ugel), illustrative Bilder zu Finite-Element-Modellierungen
findet man im WWW.

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