L01 - TU Bergakademie Freiberg

TU Bergakademie Freiberg
Institut für Diskrete Mathematik und Algebra
Prof. Dr. Martin Sonntag
Dr. Uwe Weber
Freiberg, den 13. April 2015
Lineare Algebra II Mm/BWM
1. Hausaufgabe
Musterlösungen
1. Gauß-Algorithmus (ohne Zeilen- oder Spaltenvertauschung, Leitelemente eingerahmt) ergibt
1
2
−2
−1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2 −1
3
2
9
1
4 −1 10
0 −4
2 −5
−1
14
2 −2
3
7
3
0
3 14
b
1
0
1
4
5
3
0
0
0
1
2
0
2 10
16
3
0
3 14
b
0
0
0 1
3
6
0
0
0
2
0
0
0
2 b − 15
0
0
0
0
0
0
0
0
0 b − 21
(ggf. könnte man durch Vertauschung von 3. und 5. Spalte die Trapezform herstellen). Das Gleichungssystem ist daher genau dann lösbar, wenn b = 21 gilt. Diesen
Fall betrachten wir im Folgenden.
Wir können die Nichtleitunbekannten x3 , x4 als freie Parameter wählen: x3 =
t1 , x4 = t2 . Die Zeilen mit Leitelementen sind von unten nach oben nach den
Leitunbekannten aufzulösen. Dabei ergibt sich x5 = 3 (dritte Zeile), x2 = −7 − t2
(zweite) und x1 = −7 − 2t1 + t2 (erste Zeile).
Die allgemeine Lösung


−7
 −7 



x=
 0  +t1
 0 
3
| {z }
x0
ist somit


−2
 0 


 1  +t2


 0 
0
| {z }
x1






|
1
1
−1
0
1
0
{z
x2



,


}
t1 , t2 ∈ R.
Dabei ist x0 eine spezielle Lösung, die man für t1 = t2 = 0 erhält.
Die allgemeine Lösung des entsprechenden homogenen Gleichungssystems besteht
demnach aus allen Linearkombinationen von {x1 , x2 } Diese beiden Vektoren bilden
daher, da sie offenbar linear unabhängig sind, eine Basis im (zweidimensionalen)
Raum der Lösungen dieses homogenen Systems.
Wir bezeichnen die Spalten der Koeffizientenmatrix A mit a1 , . . . , a5 . Eine Basis
in dem von diesen erzeugten Unterraum U ∈ Sub(M5,1 (R)) wird von den Spalten
gebildet, in denen nach dem Gauß-Algorithmus die Leitelemente entstehen, in diesem Falle der 1., 2. und 5. Spalte, eine Basis wäre also B = {a1 , a2 , a5 }. Der Rang
der Matrix beträgt also dim U = 3 (Anzahl der Leitelemente).
Um die Koordinaten der übrigen Spalten a3 , a4 bezüglich B zu ermitteln, müssen
wir a3 und a4 als LK von B darstellen, d. h. lineare Gleichungssysteme mit der aus
den Basisvektoren gebildeten Matrix und a3 bzw. a4 als rechten Seiten lösen (dazu
kann das oben bereits berechnete Gauß-Schema verwendet werden, wobei links
nur die Basis-Spalten beachtet werden und a3 bzw. a4 als rechte Seiten aufgefasst
werden.) Es ergeben sich die Lösungsvektoren
 


2
−1
[a3 ]B =  0  bzw. [a4 ]B =  1 
0
0
(das sind die Koordinatenvektoren von a3 bzw. a4 bzgl. B), es gilt also
a3 = 2a1 ,
a4 = −a1 + a2 .
2. Gauß-Algorithmus ergibt (Leitelemente eingerahmt)
1
2
−1
3
7
2
5
1
−1 −4
d
e
0 1
3
1
0 −2 d − 1 e + 3
0
0 d+5 e+5
Das Gleichungssystem ist folglich genau dann nicht lösbar, wenn d = −5 und
e 6= −5 (links Nullzeile, rechte Seite dort ungleich 0). Es ist eindeutig lösbar, wenn
d 6= −5 (alle Unbekannten sind Leitunbekannte), und es gibt schließlich unendlich
viele Lösungen im Fall d = e = −5 (Nichtleitunbekannte x3 als freier Parameter).
Im letzteren Fall ergibt sich als allgemeine Lösung x3 = t, x2 = 1 − 3t, x1 = 1 + 7t,
also

  
1
7
x =  1  +t  −3 ,
t ∈ R.
1
0
| {z } | {z }
x0
x1
2
Dabei ist x0 eine spezielle Lösung dieses Gleichungssystems und L ({x1 }) die allgemeine Lösung des entsprechenden homogenen Gleichungssystems.
3

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