第６章関数の連続性と凹凸目的関数の最大・最小関数の連続性 → 最大・最小の存在凹凸性 → 最大または最小関数の連続性関数 y=f(x) が x=a で連続 lim f ( x ) = f ( a ) x→a グラフがつながっている（ジャンプがない） xがわずかに変化したとき yもわずかに変化する。ジャンプのある関数 y y1 y0 a x 右極限と左極限右極限 lim f ( x ) lim f ( x ) x→a +0 x↓ a 左極限 lim f ( x ) lim f ( x ) x→a −0 x↑ a 極限 lim f ( x ) = f ( a ) ⇔ lim f ( x ) = lim f ( x ) = f ( a ) x→a x→a +0 x→ a −0 lim f ( x ) = f ( a ) x→a の厳密な定義 ε-δ法任意の実数ε>0 に対し、ある実数δ>0 とれば、 | x − a |< δ ⇒ | f ( x ) − f ( a ) |< ε が成り立つ。最大値・最小値最大値 x=x0で最大最大値M M = f ( x0 ) ≥ f ( x ) ∀ x ∈ X 最小値 x=x0で最小最小値m m = f ( x0 ) ≤ f ( x ) ∀x ∈ X 最大値・最小値の存在関数が連続でないケース y1 y0 a b x 最大値・最小値の存在定義域が閉区間でないケース y a b x 最大値・最小値の存在定義域が有界でないケース y a x 最大値・最小値の存在定義域Xは有界かつ閉集合（コンパクト）関数f(x)はX上で連続 ⇒ f(x)はXにおいて最大値・最小値をもつ b a 最大最小最大極小極大最小内点解・端点解 X = [ a , b ] max f ( x ) x∈ X max f ( x ) = f ( x0 ), x0 ∈ X x∈ X x0=a や x0=bのとき，端点解そうでないとき，内点解 a < x0 < b , x0 ∈ ( a , b ) 1-λ 凸結合 x1 λ λx1 +(1-λ)x2 x2 x1 ,x2 の凸結合 xλ （０≦λ≦１） xλ = λx1 + (1 − λ ) x2 (x1 ,y1),(x2 ,y2 ) の凸結合(xλ , yλ ) 2点を結ぶ線分（０≦λ≦１） xλ = λx1 + (1 − λ ) x2 yλ = λy1 + (1 − λ ) y 2 凸結合 x=(x1, y1) y1 1-λ 1-λ λy1+(1-λ)y2 y2 λx +(1-λ)y λ λ y =(x2, y2) 1-λ x1 λ λx1 +(1-λ)x2 x2 凸集合 Xが凸集合： x1 ,x2 ∈Xのとき xλ = λx1 + (1 − λ ) x2 ∈ X ∀λ (0 ≤ λ ≤ 1) Xが凸集合：(x1 ,y1),(x2 ,y2 ) ∈Xのとき ( xλ , y λ ) = ∀λ (0 ≤ λ ≤ 1) (λx1 + (1 − λ ) x2 , λy1 + (1 − λ ) y 2 ) ∈ X x x y y x x y y 凸集合ではない凹関数関数f(x)が凹関数 f ( xλ ) ≥ λf ( x1 ) + (1 − λ ) f ( x2 ) ∀λ (0 ≤ λ ≤ 1) f (λx1 + (1 − λ ) x2 ) ≥ λf ( x1 ) + (1 − λ ) f ( x2 ) ∀λ (0 ≤ λ ≤ 1) 1 1 f ( x 1 2 ) ≥ f ( x1 ) + f ( x2 ) 2 2 凹関数 f(x2) f(xλ) λf(x1)+(1-λ)f(x2) y =f(x) f(x1) 1-λ x1 λ xλ x2 凹関数と最大値単調増加・単調減少 → 端点解で最大単調増加でも単調減少でもない凹関数 → 内点解で最大 a 最小 b 最大最大最小凸関数関数f(x)が凸関数 f ( xλ ) ≤ λf ( x1 ) + (1 − λ ) f ( x2 ) ∀λ (0 ≤ λ ≤ 1) f (λx1 + (1 − λ ) x2 ) ≤ λf ( x1 ) + (1 − λ ) f ( x2 ) ∀λ (0 ≤ λ ≤ 1) 1 1 f ( x 1 2 ) ≤ f ( x1 ) + f ( x2 ) 2 2 凸関数 y =f(x) f(x2) λf(x1)+(1-λ)f(x2) f(xλ) f(x1) 1-λ x1 λ xλ x2 凸関数と最小値単調増加・単調減少 → 端点解で最小単調増加でも単調減少でもない凸関数 → 内点解で最小 a 最小 b 最大最大最小例:消費者行動効用関数効用関数⇔選好順序 u=u(x) u=u(x1,x2,...,xn) 望ましい選択対象に大きな値を与える関数無差別曲線⇔効用関数同程度の望ましさを持つ選択対象の集まりを表す曲線 y u=u(x1,x2) x2 無差別曲線 x1 x2 u0<u1 u=u1 u=u0 0 x1 予算制約価格(p1,p2,...,pn)>0 所得M>0 購入計画量(需要量) (x1,x2,...,xn)≧0 予算制約⇒予算集合支出≦所得 p1x1+x2p2+...+pnxn≦M 予算線(予算制約線) p1x1+x2p2+...+pnxn=M 予算集合予算集合 ← 予算制約予算制約を満たす購入可能な消費財バンドルの集まり(機会集合) p1x1+x2p2+...+pnxn≦M x1≧0, x2≧0,...,xn≧0 予算線，縦軸，横軸に囲まれた三角形の内部および境界予算線： x2=-(p1/p2)x1+M/p2 x2 M/p2 x2=-(p1/p2)x1+M/p2 予算集合 0 M/p1 x1 最適消費計画無差別曲線+予算制約 ⇒最適消費計画の決定 (x1*,x2*) 選好に関する追加的仮定単調性財は多いほど望ましい凸性（限界代替率逓減の法則）相対的に少ないものほど価値が高く，多いものほど価値が少ない極端より中庸を好む x2 限界代替率逓減の法則 MRSA>MRSB>MRSC A 原点に向かって膨らんだ無差別曲線 B C 0 u=u0 x1 最適消費計画の決定 (x1*,x2*) 予算集合の内点C → 最適ではない境界方向へ移動することで効用増加境界線上の点A → 最適ではない E点の方向へ予算線上を移動すると効用増加境界線上の点A → 最適ではない E点の方向へ予算線上を移動すると効用増加 E点が最適 ⇒ 最適消費計画最適消費計画では予算線と無差別曲線が接している ⇒ ①価格比=限界代替率 (p1/p2=MRS=u1/u2) ⇒ ②予算制約を等号で満たす p1x1+x2p2=M y u=u(x1,x2) x2 無差別曲線 x1 x2 最適消費計画の決定 A E 単調性 u0<u1 C B 0 u=u1 u=u0 x1