統計力学 I 講義資料（7/14） η(x)の振舞について

統計力学 I
講義資料（7/14）
η(x) の振舞について
ボース・アインシュタイン凝縮の議論で次の関数 η(x) の振舞が重要であった。
√
∫ ∞
u
η(x) =
(x ≤ 0)
du u−x
e
−1
0
(1)
この関数の以下の性質を示す。
i) x ≤ 0 で単調増加
(1) の x での微分が、
dη(x)
=
dx
∫
0
∞
√ u−x
ue
≥0
du u−x
(e
− 1)2
(2)
であることから明らか。（非積分関数が常に非負なので。）
ii) η(x) → 0 (x → −∞)
x < 0 かつ |x| ≫ 1 のとき、eu−x − 1 ∼ eu−x 。これより、
∫ ∞
∫ ∞
√ −u+x
√
x
η(x) ∼
du u e
=e
du u e−u
0
(3)
0
ここで、変数変換 u = ξ 2 を用いると、上の積分は
∫ ∞
ξ2 x
2
x
2e
dξξ 2 e−ξ =
e
2
0
(4)
と計算できる。ここで、ガウス積分から得られる以下の結果を用いた。
√
∫ ∞
1 π
2 −ax2
dx x e
=
2 a3
−∞
(5)
(4) より、η(x) → 0 (x → −∞)。
iii) η(0) =
√
π
3
2 ζ( 2 )
= 2.315...
(∞
)
√
√ −u
∫ ∞
∫ ∞
∑
√
u
ue
−nu
η(0) =
du u
=
du
=
du u
e
e −1
1 − e−u
0
0
0
n=1
∞ ∫ ∞
∞ ∫ ∞
∑
∑
√
2
=
dξ ξ 2 e−nξ
du u e−nu =
∫
=
∞
n=1
∞
∑
n=1
0
1
2
√
n=1
√ ∑
∞
1
π
π
=
3
3/2
n
2
n
n=1
−∞
となり、ζ 関数による表示が得られる。ただし、|z| < 1 のときに成り立つ恒等式
と変数変換 u =
ξ 2 、および
(5) 式を用いた。
(6)
∑∞
n=1 z
n
= z/(1−z)、

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