解答へ

基本問題 23
次の不等式を証明しなさい。
(n + 1)3
(1) 1 + 2 + 3 + · · · · · · + n <
3
(n = 1, 2, 3, · · · )
2
2
2
(2) 2n > 3n + 1
2
(n = 4, 5, 6, · · · )
解説
不等式の証明では，n = k のとき成り立つと仮定して n = k +1
のときの左辺に関する不等式を下のように作ります。
(n = k + 1 のときの左辺)< 式 A
次に，n = k + 1 のときの右辺と式 A について
式 A< (n = k + 1 のときの右辺)
を示し
(n = k + 1 のときの左辺)< 式 A < (n = k + 1 のときの右辺)
を得て，中辺を抜いて
(n = k + 1 のときの左辺)< (n = k + 1 のときの右辺)
とするのが一般的な解法です。
一般に，式 A と n = k + 1 のときの右辺が等しくならないの
でこのように解決します。
解答
(1) 数学的帰納法により証明する。
[1] n = 1 のとき
(1 + 1)3
8
左辺 = 1 = 1，右辺 =
=
3
3
2
であるから成り立つ。
[2] n = k のとき成り立つと仮定すると
n = k + 1 のとき
(k + 1)3
左辺 = 1 + 2 + 3 + · · · + k + (k + 1) <
+ (k + 1)2
3
2
2
2
2
2
1
··· ⃝
ここで
}
(k + 2)3 { (k + 1)3
2
−
+ (k + 1)
3
3
(k + 2)3 − (k + 1)3
=
− (k + 1)2
3
3k 2 + 9k + 7
=
− (k + 1)2
3
3k + 4
=
>0
3
であるから
(k + 1)3
(k + 2)3
>
+ (k + 1)2
3
3
⃝
1 ，⃝
2 より
2
··· ⃝
(k+1)3
(k+2)3
2
1 +2 +· · ·+k +(k+1) <
+(k+1) <
3
3
2
2
すなわち
2
2
(k + 2)3
1 + 2 + · · · + k + (k + 1) <
3
となり，n = k + 1 でも成り立つ。
2
2
2
2
以上により題意は示された。(証明終り)
(2) 数学的帰納法により証明する。
[1] n = 4 のとき
左辺 = 24 = 16，
右辺 = 3·4 + 1 = 13
であるから成り立つ。
[2] n = k (k >
= 4) のとき成り立つと仮定すると
2k > 3k + 1
この両辺に 2 をかけて
2k+1 > 2(3k + 1)
1
··· ⃝
ここで
{
}
2(3k + 1) − 3(k + 1) + 1 = 3k − 2 > 0 (∵ k >
= 4)
1 より
これと⃝
2k+1 > 2(3k + 1) > 3(k + 1) + 1
すなわち
2k+1 > 3(k + 1) + 1
となり，n = k + 1 でも成り立つ。
以上により題意は示された。(証明終り)
(2) は，n >
= 4 のときですから [1] では n = 4 のとき成り立つ
ことを述べます。

Download Report