数学 B 4 ノート２ 2014 年 10 月 8 日 P を n 次の正則行列、u1 ,...,un を n 次元ベクトル空間 V の基底とす るとき、 (v1 , ..., vn ) = (u1 , ..., un )P とおくと、v1 ,...,vn も V の基底となる。 f を V の一次変換、A を u1 ,...,un に関する f の行列表示とするとき、 f の v1 ,...,vn に関する行列表示は、 P −1 AP となる。 V = Rn , f : Rn −→ Rn を一次変換 f (x) = Ax とする。v1 ,...,vn を Rn の基底とし、P = (v1 ...vn ) とおくとき、v1 ,...,vn に関する f の行列 表示は、 P −1 AP となる。 第１回レポート問題 次の問題を A4 の用紙に解いて、10 月 15 日のこの時間に提出せよ。 (語学の組と学籍番号、名前を忘れずに書くこと。) 1. 111 ページ練習問題 4.1 の 8 番を解け。 ⎛ ⎞ 0 1 1 ⎜ ⎟ 2. A = ⎝ 2 1 −1 ⎠ とし、一次変換 f : x → Ax を考える。 2 0 0 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 1 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3 R の基底 ⎝ −1 ⎠, ⎝ −1 ⎠, ⎝ 1 ⎠ に関する f の行列表示を −1 2 1 求めよ。 1 3. A, B を n 次の直交行列とする。このとき、AB も直交行列であるこ とを証明せよ。また、A−1 も直交行列であることを証明せよ。 ⎛ 2 ⎞ 0 a 3 ⎜ 2 1 b ⎟ 4. ⎝ 3 √5 ⎠ が直交行列となるように、a, b, c の値を定めよ。 1 3 c 2 − 3√ 5 2
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