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S´
erie d’exercices: Applications
Exercice 1 Soient f : R → R et g : R → R telles que f (x) = 3x + 1 et g(x) = x2 − 1. A-t-on
f ◦g =g◦f?
Exercice 2 Soit l’application de R dans R, f : x 7→ x2 .
1. D´eterminer les ensembles suivants : f ([−3, −1]), f ([−2, 1]), f ([−3, −1]∪[−2, 1]) et f ([−3, −1]∩
[−2, 1]). Les comparer.
2. Mˆemes questions avec les ensembles f −1 (]−∞, 2]), f −1 ([1, +∞[), f −1 (]−∞, 2] ∪ [1, +∞[)
et f −1 (]−∞, 2] ∩ [1, +∞[).
Exercice 3 Donner des exemples d’applications de R dans R (puis de R2 dans R) injective et
non surjective, puis surjective et non injective.
Exercice 4 Soit f : R → R d´efinie par f (x) = x3 − x.
f est-elle injective ? surjective ? D´eterminer f −1 ([−1, 1]) et f (R+ ).
Exercice 5 Les fonctions suivantes sont-elles injectives ? surjectives ? bijectives ?
f : Z → Z, n 7→ 2n ;
f : Z → Z, n 7→ −n
f : R → R, x 7→ x2
f : R → R+ , x 7→ x2
;
f : C → C, z 7→ z 2 .
Exercice 6 Les applications suivantes sont-elles injectives, surjectives, bijectives ?
(
N→N
1. f :
n 7→ n + 1
(
Z→Z
2. g :
n 7→ n + 1
(
R2 → R2
3. h :
(x, y) 7→ (x + y, x − y)
(
R − {1} → R
4. k :
x+1
x 7→ x−1
Exercice 7 Soit f : R → R d´efinie par f (x) = 2x/(1 + x2 ).
1. f est-elle injective ? surjective ?
2. Montrer que f (R) = [−1, 1].
3. Montrer que la restriction g : [−1, 1] → [−1, 1] g(x) = f (x) est une bijection.
4. Retrouver ce r´esultat en ´etudiant les variations de f .
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Exercice 8 L’application f : C\{0} → C, z 7→ z+1/z est-elle injective ? surjective ? bijective ?
Donner l’image par f du cercle de centre 0 et de rayon 1.
Donner l’image r´eciproque par f de la droite iR.
Exercice 9 On consid`ere quatre ensembles A, B, C et D et des applications f : A → B,
g : B → C, h : C → D. Montrer que :
g ◦ f injective ⇒ f injective,
g ◦ f surjective ⇒ g surjective.
Montrer que :
g ◦ f et h ◦ g sont bijectives
⇔ f, g et h sont bijectives .
Exercice 10 Soit f : X → Y . Montrer que
1. ∀B ⊂ Y f (f −1 (B)) = B ∩ f (X).
2. f est surjective ssi ∀B ⊂ Y f (f −1 (B)) = B.
3. f est injective ssi ∀A ⊂ X f −1 (f (A)) = A.
4. f est bijective ssi ∀A ⊂ X f (A) = f (A).
Exercice 11 Soit f : X → Y . Montrer que les trois propositions suivantes sont ´equivalentes :
i. f est injective.
ii. ∀A, B ⊂ X f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B).
iii. ∀A, B ⊂ X A ∩ B = ∅ V f (A) ∩ f (B) = ∅.
(
P(X) → P(Y )
Exercice 12 Soit f : X → Y .On note fˆ :
A 7→ f (A)
Montrer que :
1. f est injective ssi fˆ est injective.
(
P(Y ) → P(X)
et f˜ :
B 7→ f −1 (B)
.
2. f est surjective ssi f˜ est injective.
Exercice 13 (Exponentielle complexe) Si z = x + iy, (x, y) ∈ R2 , on pose ez = ex × eiy .
1. D´eterminer le module et l’argument de ez .
0
2. Calculer ez+z , ez , e−z , (ez )n pour n ∈ Z.
3. L’application exp : C → C, z 7→ ez , est-elle injective ?, surjective ?
Exercice 14 Soient a, b ∈ R avec a 6= 0, et fa,b : R → R telle que fa,b (x) = ax + b. D´emontrer
que fa,b est une permutation et d´eterminer sa r´eciproque.
Exercice 15 Soit f : [0, 1] → [0, 1] telle que
(
x
si x ∈ [0, 1] ∩ Q,
f (x) =
1 − x sinon.
D´emontrer que f ◦ f = id.
2
Exercice 16 Soit f : R → C t 7→ eit . Montrer que f est une bijection sur un ensemble `a
pr´eciser.
Exercice 17 On appelle demi-plan de Poincar´e l’ensemble P des nombres complexes z tels
que Im z > 0, et disque unit´e l’ensemble D des nombres complexes z tels que |z| < 1. D´emontrer
est une bijection de P sur D.
que z 7→ z−i
z+i
Exercice 18 Soit f : [1, +∞[→ [0, +∞[ telle que f (x) = x2 − 1. f est-elle bijective ?
f
g
h
f
g
h
Exercice 19 Soient A →
− B→
− C→
− D. Montrer que si g ◦ f et h ◦ g sont bijectives alors f, g
et h le sont ´egalement.
Exercice 20 Soient A →
− B→
− C→
− A. Montrer que si h ◦ g ◦ f et g ◦ f ◦ h sont injectives et
f ◦ h ◦ g surjective alors f, g et h sont bijectives.
Exercice 21 Soit
( X un ensemble. Si A ⊂ X on note χA la fonction caract´eristique associ´ee.
P(X) → F(X, {0, 1})
Montrer que Φ :
est bijective.
A 7→ χA
Exercice 22 Soit E un ensemble non vide. On se donne deux parties A et B de E et on
d´efinit l’application f : ℘(E) → ℘(E), X 7→ (A ∩ X) ∪ (B ∩ X c ). Discuter et r´esoudre l’´equation
f (X) = ∅. En d´eduire une condition n´ecessaire pour que f soit bijective.
On suppose maintenant B = Ac . Exprimer f a` l’aide de la diff´erence sym´etrique ∆. Montrer que
f est bijective, pr´eciser f −1 . f est-elle involutive (i.e. f 2 = id) ? Quelle propri´et´e en d´eduit-on ?
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