Lycée Jean Perrin Classe de TSI2 2014/2015 08/12/14 au 12/12/14 Colles : semaine 11 VI Réduction des endomorphismes et des matrices carrées VI.A Vecteurs propres et valeurs propres d'un endomorphisme Dénitions, spectre, sous-espace propre, éléments propres d'une homothétie, d'un projecteur, d'une symétrie. La somme nie d'une famille de sous-espaces propres associés à des valeurs propres diérentes est directe. VI.B Réduction d'un endomorphisme en dimension nie Polynôme caractéristique χf : x 7→ det(xIdE − f ) ; coecient dominant. Si une valeur propre λ est d'ordre de multiplicité k, on a 1 6 dim Eλ 6 k ; endomorphisme diagonalisable ; un endomorphisme u est diagonalisable si et seulement si la somme de ses sous-espaces propres est égale à E ; caractérisation à l'aide des dimensions des sous-espaces propres. Endomorphisme trigonalisable ; caractérisation : le polynôme caractéristique est scindé ; déterminant et trace d'un endomorphisme trigonalisable en fonction des valeurs propres. Trigonalisation sur des exemples (aucune technique eective n'est au programme mais il faut mieux se méer). VI.C Réduction d'une matrice carrée VI.D Puissances d'une matrice carrée Cas où elle est diagonalisable. On a vu aussi (pas ociellement au programme) le polynôme annulateur et le cas où elle est trigonalisable avec une valeur propre unique. VI.E Suites à récurrence linéaire d'ordre 2 Structure de l'ensemble des suites numériques vériant une relation de récurrence linéaire d'ordre 2 à coecients constants. Équation caractéristique. Base de solutions. On se limite au cas homogène. Il faut savoir traduire une récurrence scalaire d'ordre 2 en une récurrence vectorielle d'ordre 1 du type Xn+1 = AXn et connaître la forme des solutions à l'aide de l'équation caractéristique. VII Espaces préhilbertiens réels VII.A produit scalaire Dénition du produit scalaire. Exemples sur Rn , Rn [X] et C([a, b], R).
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