TD20-EspacesVectorielDimFinie2

Alexandre Marino
Lycée Joffre MPSI
Feuille d’exercices 20
Algèbre linéaire en dimension finie (niveau 2))
Dans la suite, K désignera le corps R ou C. (parfois Q)
Généralités
Exercice 1 : Soient E, F et G sont trois espaces vectoriels de dimension finie et f ∈ L(E, F ) et g ∈ L(F, G).
1. Montrer que rg (g ◦ f ) 6 min(rg f, rg g).
2. a. Montrer que Ker(g|Im f ) = Ker g ∩ Im f .
b. En déduire que rg( g ◦ f ) = rg f − dim(Ker g ∩ Im f ).
c. Montrer enfin que rg(g ◦ f ) > rg f + rg g − dimF .
Exercice 2 : Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie et f, g des endomorphisme de E.
1. Montrer que rg(f + g) ≤ rg(f ) + rg(g).
2. Montrer que |rg(f ) − rg(g)| ≤ rg(f − g).
Exercice 3 : Pour k ∈ [[0, n]], on pose : Pk = X k (1 − X)n−k . Montrer que (P0 , . . . , Pn ) est une base de Rn [X].
Exercice 4 : Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n, et f ∈ L(E). Montrer que :
(Ker(f ) = Im(f )) ⇐⇒ (f 2 = 0 et n = 2 rg(f )).
Exercice 5 : Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie n > 2 et H un hyperplan de E.
Montrer qu’il existe une base (e1 , e2 , . . . , en ) de E telle que ∀ k ∈ [[1; n]] , ek ∈
/ H.
Exercice 6 : Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie et F et G deux hyperplans distincts de E, quelle
est la dimension de F ∩ G ?
Exercice 7 : Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n.
Soient F et G deux sous-espace vectoriels de E vérifiant dim(F ) + dim(G) > n.
Montrer que F ∩ G 6= {0E }
Exercice 8 : Soient E un K-espace vectoriel, F1 et F2 deux sous-espaces vectoriels de même dimension.
Montrer que F1 et F2 admettent un supplémentaire commun.
Exercice 9 : Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie et f et g deux endomorphismes de E.
On suppose que : E = Ker f + Ker g = Im f + Im g. Montrer que ces deux sommes sont directes.
Exercice 10 : Soit E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie et f ∈ L(E, F ), g ∈ L(F, E) tels que
f ◦ g ◦ f = f et g ◦ f ◦ g = g. Comparer les rangs de f et de g et montrer que F = Im(f ) ⊕ Ker(g).
Exercice 11 : Soit f un endomorphisme d’un K-espace vectoriel E de dimension finie. Montrer que les suites
(Ker(f n ))n∈N et (Im(f n ))n∈N sont stationnaires à partir du même rang p et qu’on a alors : Ker(f p ) ⊕ Im(f p ) = E.
(preuve détaillé dans le devoir maison !)
Exercice 12 : Soit f un endomorphisme de E de dimension finie. Montrer que :
(E = Ker(f ) ⊕ Im(f )) ⇐⇒ (Ker(f 2 ) = Ker(f )) ⇐⇒ (Im(f 2 ) = Im(f )).
Exercice 13 :
1. Soient E un K-espace vectoriel de dimension 3 et f un endomorphisme de E tels que f 2 6= 0 et f 3 = 0. Trouver
tous les endomorphismes de E qui commutent avec f .
2. Déterminer les endomorphismes d’un K-espace vectoriel E de dimension n commutant avec un endomorphisme
nilpotent d’indice n.
Exercice 14 : Soient E un K-espace vectoriel de dimension n et F un sous-espace vectoriel de E distinct de E.
Montrer que F est l’intersection d’un nombre fini d’hyperplans de E. Quel est le nombre minimum d’hyperplans
nécessaire ?
Exercice 15 : Soient E un K-espace vectoriel de dimension n et f un endomorphisme nilpotent de E d’indice p ∈ N,
montrer que p ≤ n.

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