UE4 algèbre linéaire Université de Nice Projecteurs symétries endomorphismes nilpotents . Montrer que p ∈ L(E) est un projecteur ssi p = p. Si car k 6= 2, montrer que s est une symétrie ssi s = id. Exercice 2. Soient k un corps de caractéristique nulle et p , . . . , p ∈ L(E) des projecteurs. a) Si p + · · · + p = 0, montrer que p = · · · = p = 0. b) Montrer que p + · · · + p est un projecteur ssi ∀i 6= j , p ◦ p = 0 et qu'alors on a Im p = Im p ⊕ · · · ⊕ Im p . Exercice 3. Donner l'expression analytique de la projection sur la droite D = R parallèlement au plan P d'équation x + 2y + 3z = 0 et de la projection sur P parallèlement à D ? Exercice 4. Combien y a-t-il de projecteurs dans L(F ) ? Exercice 5. Quel est le nombre de classes de similitude de symétries dans GL (C) ? En déduire que si n 6= m, alors les groupes GL (C) et GL (C) ne sont pas isomorphes. Exercice 6. Si u ∈ L(E) est nilpotent alors id+u est inversible. Montrer qu'il existe v ∈ L(E) telle que id + u = v . Exercice 7. Soit u ∈ L(E) un endomorphisme. Montrer que u est nilpotent ss'il existe une base B de E dans laquelle Mat u soit triangulaire supérieure stricte. En déduire que l'indice de nilpotence deu est toujours inférieur ou égal à dim E. Applications : la matrice J = ∈ M (C) est-elle un carré dans M (C) ? Montrer que l'ensemble des matrices nilpotentes est un fermé de M (C). Exercice 8. Soit M ∈ M (k). Montrer que M est nilpotente ssi ∀i > 1 tr(M ) = 0. Exercice 9. Les matrices suivantes sont-elles semblables?   A 0 A 0  et B =  ?; A= et 0 A ? 0 B Exercice 10. Réduction de Jordan des nilpotents Soit u ∈ L(E) un endomorphisme nilpotent d'indice d+1 (c'est-à-dire tel que u = 0 et u 6= 0). Pour tout k > 0, on pose N := ker u . a) Montrer que l'on a une suite d'inclusions strictes 0 = N ( N ( · · · ( N = E et que la suite dim N − dim N est décroissante. b) Soit F un supplémentaire de N dans N = E et soit (e , . . . , e ) une base de F . Montrer que la famille {e , u(e ), . . . , u (e ), e , u(e ), . . . , u (e )} est libre. Montrer que Vect{e , u(e ), . . . , u (e )} est stable par u. Quelle est, dans cette base, la matrice de la restriction de u à cet espace? c) Montrer que l'on peut itérer le procédé et en déduire l'existence d'une base de Jordan. d) Montrer que deux matrices nilpotentes A et B sont semblables ssi pour tout k > 0, on a dim ker A = dim ker B . Exercice 11. Soit M ∈ M (C). Montrer que 0 (la matrice nulle) est dans l'adhérence de la classe de conjugaison de M ssi M est nilpotente. Exercice 12. Combien y a-t-il de classes de similitudes de matrices nilpotentes dans M (C) ? Exercice 1 2 2 1 1 n 1 1 1 n n n i j n 1 1 1 n q n n m 2 B 0 1 0 0 0 1 0 0 0 3 3 n i n 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 d+1 k 0 i 1 d+1 i−1 d d 1 d 1 1 k d k 1 1 d d+1 2 1 d 2 id d id 1 k n n 1/1