Devoir surveillé no 4 TS 24 mars 2014 Exercice 1 (2 pts) On suppose connu le résultat suivant : Pour tous nombres complexes non nuls z et z ′ , arg(z × z ′ ) = arg(z) + arg(z ′ ) à 2π près. ! z ′ Démontrer que pour tous nombres complexes non nuls z et z , arg ′ = arg(z) − arg(z ′ ) à 2π près. z Exercice 2 (5 pts) − − Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O , → u ,→ v ). On considère les points A, B , C d’affixes √ √ zA zB = 2 + 2i zC = respectives : zA = 2 + i 6 zB 1. Ecrire zC sous forme algébrique. 2. Ecrire zA et zB sous forme exponentielle. En déduire zC sous forme exponentielle. π π et sin 3. En déduire les valeurs exactes de cos 12 12 Exercice 3 (6 pts) Une grande entreprise dispose d’un vaste réseau informatique. On observe le temps de fonctionnement normal séparant deux pannes informatiques. Ce temps sera appelé « temps de fonctionnement ». Soit X la variable aléatoire égale au temps de fonctionnement, exprimé en heures. On admet que X suit une loi exponentielle de paramètre λ, où λ est un réel strictement positif. On rappelle que pour tout réel positif t, Z t p(X 6 t) = λ e−λx dx 0 1. On sait que la probabilité que le temps de fonctionnement soit inférieur à 7 heures est égale à 0,6. Déterminer une valeur approchée à 10−3 près de λ. Dans les questions suivantes, on prendra 0,131 pour valeur approchée de λ et les résultats seront donnés à 10−2 près . 2. Montrer qu’une valeur approchée de la probabilité que le temps de fonctionnement soit supérieur à 5 heures est égale à 0,52. 3. Calculer la probabilité que le temps de fonctionnement soit supérieur à 9 heures sachant qu’il n’y a pas eu de panne au cours des quatre premières heures. 4. Calculer la probabilité que le temps de fonctionnement soit compris entre 6 et 10 heures. 5. On relève aléatoirement huit temps de fonctionnement, qu’on suppose indépendants. Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de relevés correspondant à des temps de fonctionnement supérieurs ou égaux à 5 heures. a. Quelle est la loi suivie par Y ? b. Calculer la probabilité que trois temps parmi ces huit soient supérieurs ou égaux à 5 heures. Exercice 4 (7 pts) − − Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé (O , → u ,→ v ). On considère les points A, B et C d’affixes respectives : zA = i, zB = 2i, et zC = 1. On considère la transformation f qui à tout point M du plan d’affixe z, distinct de A, associe le point M′ d’affixe z′ = 2iz z−i 1. Déterminer l’ensemble des points invariants par la transformation f . 2. Déterminer, sous forme algébrique, les affixes des points B′ et C′ , images respectives des points B et C par f . 3. a. Montrer que, pour tout point M distinct de A, l’affixe z ′ de M′ vérifie l’égalité −2 z−i b. En déduire que si le point M appartient au cercle Γ de centre A et de rayon 1, alors son image M′ appartient à un cercle dont on déterminera le centre et le rayon. −−−−→ −−−→ − − c. Exprimer une mesure de l’angle → u , BM′ en fonction d’une mesure de l’angle → u , AM . z ′ − 2i =
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