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DES EXERCICES SUR LES NOMBRES COMPLEXES.
D APRES DES SUJETS DE BAC.
v ). L unité graphique est 2cm.
(3 4i)z 5 z .
A tout point M du plan, d affixe z, l application associe le point f(M) M d affixe z
6
1.
On considère les points A,B,C,D et E d affixes respectives 1 2i ; 1 ; 3i ; 2 i et 2 i.
a.
Déterminer les affixes des points A ,B ,C ,D et E . On écrira les calculs pour les point A et
B puis on pourra utiliser la calculatrice pour les autres points.
b.
Placer les points A,B,C,D,E,A ,B ,C ,D et E .
c.
Déterminer la nature du quadrilatère ABDC.
d.
Quelle est l image du quadrilatère ABDC par f ? Est-ce un parallélogramme ?
2.
On pose z x iy avec x et y des réels.
a.
Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de z en fonction de x et y.
b.
Déterminer l ensemble des points invariants par f et le construire sur le graphique.
3.
i (z z )
a.
Montrer que pour tout nombre complexe z, z z = z z
6
3
1 2i
b.
Quelle est la nature de z z ?
1 2i
I.
Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O u
II. Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O u v ).
A tout point M du plan, d affixe z, l application associe le point f(M) M d affixe z z² 4z.
1.
Soit I le point d affixe 3. Déterminer les points M tels que OMIM soit un parallélogramme.
2.
A et B sont les points d affixes respectives zA 1 i et zB 3 i et J est le point d affixe 2.
a.
Calculer les affixes des points A et B , images respectives des points A et B par f.
b.
Vérifier que J est le milieu du segment [AB].
c.
On suppose que deux points ont la même image par f. Démontrer qu ils sont confondus ou
que l un est l image de l autre par une symétrie centrale que l on précisera.
DES EXERCICES SUR LES NOMBRES COMPLEXES.
D APRES DES SUJETS DE BAC.
CORRECTION
I.
1.
8 4i ; z
4 2i ; z
2 i ; zD 2 i et zE
2 i.
B
C
3 3
3 3
On remarque que les points C et E ont la même image par f et que E est invariant par f.
b.
c.
Le vecteur AB a pour affixe 2 2i et le vecteur CD a pour affixe 2 2i.
On a AB CD donc ABDC est un parallélogramme.
L image de ABDC est A B D C .
A B a pour affixe 4 2i et C D a pour affixe 4 2i donc A B D C est un parallélogramme.
Remarque : B D a pour affixe 2 1 i donc A B 6B D . Les points A ,B et D sont alignés
3 3
alors que les points A,B et D ne le sont pas : cette application ne conserve pas l alignement.
a.
2.
On obtient zA =
On pose z x iy avec x et y des réels.
(3 4i)z 5 z = (3 4i)(x iy) 5(x iy) = 3x 4ix 3iy 4y 5x 5iy
a.
z
6
6
6
8x 4y i 4x 2y
6
6
La partie réelle de z est Re(z ) 4x 2y et la partie imaginaire de z est Im(z ) 2x y .
3
3
b.
On cherche l ensemble ( ) des points M tels que M M
 8x 6 4y
x 2y
8x 4y i 4x 2y = x iy

M(z)ϵ( )
z z
x 2y.

4x 2y y
x 2y
6
6
 6
( ) est la droite d équation x 2y ou y 1 x.
2
Remarque : tout point de ( ) est confondu avec son image mais un point de ( ) peut être à la fois
sa propre image et l image d un autre point, extérieur à ( ).
Par exemple, E est un point de ( ) et E est à la fois l image de E et l image de C par f.
3.
a.
Soit z un nombre complexe.
( 3z 4iz 5 z )(1 2i)
z z
(3 4i)z 5 z 6z
3z 4iz 5 z
1 2i
6(1 2i)
6(1 2i)
6(1 2i)(1 2i)
z z
3z 4iz 5 z 6iz 8z 10i z
5z 5 z i 10z 10 z
z z
30
30
6
1 2i
6 5
b.
Pour tout complexe z : z z ϵ . De plus, z z ϵ i donc i (z z ) ϵ .
z z i (z z ) est un nombre réel.
Alors z z
6
3
1 2i
i (z
z)
3
II.
z z² 4z.
1.
Soit M un point d affixe z.
OMIM est un parallélogramme ssi MO IM
ssi z z 3
ssi z z² 4z 3
ssi z² 3z 3 0
Δ = − 3 donc l’équation a deux solutions qui sont 3 i 3 et 3 i 3 .
2
2
Il existe deux points M tels que OMIM soit un parallélogramme. Ce sont les points d affixes 3 i 3
2
et 3 i 3 .
2
2.
A et B sont les points d affixes respectives zA 1 i et zB 3 i et J est le point d affixe 2.
a.
A a pour affixe (1 i)² 4(1 i) 4 2i et B a aussi pour affixe 4 2i.
zA zB
b.
= 2 = zJ donc J est le milieu du segment [AB].
2
c.
Soient M1 et M2 deux points d affixes respectives z1 et z2 qui ont la même image par f, c'est-àdire tels que z1² 4z1 z2² 4z2
z1² 4z1 z2² 4z2
z1² z2² 4z1 4z2 = 0
(z1 z2)(z1 z2) 4(z1 z2) 0
(z1 z2)(z1 z2 4) 0
(z1 z2) = 0 ou (z1 z2 4) = 0
z1 z2 ou z1 z2 4 = 0
z z
z1 z2 ou 1 2 2 zJ
2
M1 et M2 sont confondus ou J est le milieu de [M1M2].
Ainsi, M1 et M2 sont confondus ou symétriques par rapport au point J.

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