M´ecanique des fluides - Bachelor - TD 3 Th´ eor` eme de Buckingham-Π Exercice 1 On ´etudie un seuil ` a paroi mince, avec un d´eversoir de forme triangulaire (angle φ) comme le montre la figure 1. Ce d´eversoir contrˆ ole le d´ebit dans un canal ; l’eau est d´evers´ee dans un canal en contrebas, qui n’a aucune action en retour sur l’´ecoulement amont (seuil d´enoy´e). La hauteur d’eau au niveau du d´eversoir est H. Le d´ebit Q transitant est fonction de H, de la vitesse V `a l’approche du d´eversoir (resserrement des lignes de courant dˆ u` a la contraction de la section d’´ecoulement), de l’acc´el´eration de la gravitation g, et naturellement de l’angle d’ouverture φ. A l’aide du th´eor`eme Π, identifiez les nombres adimensionnels qui d´ecrivent le probl`eme. φ H Figure 1 – d´eversoir mince. Exercice 2 La jet´ee couvrant la rade d’un port est expos´ee `a un syst`eme de vagues venant du large et ayant pour p´eriode T = 7, 5 s. Afin d’´etudier le comportement de cette jet´ee, on r´ealise une maquette au 1/20. Quelle p´eriode doit on donner au syst`eme de vagues artificiellement produit pour r´ealiser √ la similitude dynamique ? On rappelle que l’on d´efinit la c´eelirit´ee des ondes en eau peu profonde par : c = gh = Tλ . Figure 2 – La jet´ee Exercice 3 Une soci´et´e poss´edant un bassin de car`ene vous propose de construire un mod`ele r´eduit `a l’´echelle 1/10 du navire que vous souhaitez r´ealiser, cela afin de d´eterminer la traˆın´ee directement `a partir des essais sur le mod`ele r´eduit. 1. Sachant que le navire se d´eplacera ` a une vitesse de croisi`ere Uc , calculez `a quelle vitesse Um devront ˆetre men´es les essais avec la maquette dans le bassin. 2. La force de train´ee est la force qu’exerce l’´ecoulement sur le bateau. On d´emontre qu’elle est proportionnelle ` a ρU 2 S, o` u S est l’air de la section en vue de face en contact avec l’eau. On note Fm la norme de la force de train´ee ressentie par la maquette et F celle de la force de train´ee du mod`ele r´eel. Quel lien y a-t-il entre ces deux forces ? Commentez. 1 M´ecanique des fluides - Bachelor - TD 3 Figure 3 – Le bateau Exercice 4 Une maquette de digue ` a l’´echelle 1/20 est constitu´ee d’un empilement de blocs en b´eton de masse 1 kg. Cette digue est cens´ee prot´eger un port contre la houle. On a observ´e qu’il n’y avait aucun dommage tant que la hauteur H de la houle ne d´epassait pas 30 cm sur le mod`ele r´eduit. Quel doit ˆetre le poids minimal des blocs en b´eton pour que la digue r´esiste ` a une houle g´eom´etriquement et dynamiquement similaire `a celle du mod`ele r´eduit sachant que la houle peut atteindre 6 m en hauteur ? Indications : Supposez que le soul`evement d’un corps expos´e aux vagues intervient lorsque Fp /Fa = avec Fp le poids du corps, Fa la force d’arrachement due ` a l’eau et une constante ind´ ependante de l’´echelle . En premi`ere approximation on consid´erera que Fa est proportionnelle ` a la surface apparente du corps et au carr´e de la vitesse de l’eau (Fa ∝ U 2 L2 avec U la vitesse de l’eau et L la longueur caract´eristique du corps). Egalisez ensuite les nombres de Froude. digue mer H Figure 4 – merlon de protection contre la houle. Exercice 5 Vous ˆetes charg´es d’´etudier en laboratoire la chute de pression par unit´e de longueur dans un tuyau de section circulaire. 1. Identifiez les param`etres qui contrˆ olent cet ´ecoulement ? Sans utiliser le th´eor`eme Buckimgham-Π, quel plan d’exp´erience envisageriez-vous pour r´ealiser cette exp´erience ? 2. Utilisez maintenant le th´eor`eme Pi pour connaitre les nombres sans dimensions sur lesquelles se construit le ph´enom`ene physique. Quel plan d’exp´erience peut-on maintenant envisager ? 3. Ci-dessous (Figure 5) est trac´e le diagramme de Moody, c´el`ebre ing´enieur am´ericain qui a trac´e `a partir d’exp´eriences l’´evolution du coefficient de frottement de Darcy-Weissbach d´efini par : f= 2d ∆P ρV 2 l en fonction de Re pour un tube cylindrique de diam`etre d. A la lumi`ere de vos trouvailles avec le th´eor`eme Π, expliquez l’int´erˆet de ce graphique ? voit-on un degr´e de libert´e suppl´ementaire ? indiquez le nombre d’exp´eriences n´ecessaires pour d´ecrire le ph´enom`ene pour Re >> 105 et avec une rugosit´e de D = 0.03 Exercice 6 : Dans un fluide en ´ecoulement, on introduit une plaque. Celle-ci est plac´ee perpendiculairement au flux, elle est rectangulaire de largeur w et de hauteur h. Supposez que la traˆın´ee exerc´ee par le fluide sur la plaque est une fonction de w, h, µ (viscosit´e du fluide), ρ (densit´e du fluide) et v (vitesse du fluide). D´eterminez les termes Π n´ecessaires ` a l’´etude exp´erimentale de ce probl`eme. 2 M´ecanique des fluides - Bachelor - TD 3 Figure 5 – Diagramme de Moody Exercice 7 Figure 6 – Dinde Une dinde sera cuite ` a point lorsque la temp´erature en son centre atteint une valeur Tc donn´ee (mesur´ee avec une sonde). Pour permettre l’estimation du temps de cuisson tc les livres de cuisines traditionnels indiquent le nombre de minutes de cuisson par kilogramme de dinde, quand celle-ci est plac´ee dans un four `a temp´erature Tf constante et uniforme. Par exemple : “pour une dinde de 3 `a 4 kg, il faut compter environ 50 mn par kg.” 1. Nous avons une dinde de 6 ` a 7 kg, estimer alors le temps de cuisson tc en consid´erant que le temps de cuisson est lin´eaire avec le poids de la dinde. Qu’en pensez vous ? On souhaite affiner cette premi`ere approche. Une analyse dimensionnelle de la cuisson de la dinde doit nous permettre de d´eterminer la relation entre le temps de cuisson et la taille L de la volaille. Le transfert de chaleur dans la dinde se fait par conduction donc le temps de cuisson tc d´epend notamment de la longueur L, de la diffusivit´e thermique χ de la chair ainsi que de la temp´erature que l’on veut atteindre Tc en comparaison avec la temp´erature du four Tf . Pour rappel, voici l’´equation de la chaleur qui est ici pour vous aider `a percevoir le lien entre ces diff´erentes grandeurs (il ne faut pas la r´esoudre) : ∂2T ∂T =χ 2 (1) ∂t ∂x 2. Utiliser le th´eor`eme de Buckingham-Π pour ´etablir une relation g´en´erale reliant la temp´erature dans la dinde au temps pass´e dans le four et aux param`etres sans dimensions du probl`eme. 3. En supposant que, quand elles grossissent, les dindes restent g´eom´etriquement semblables et gardent les mˆemes valeurs de ρ et de χ, trouver la relation entre masse et temps de cuisson dans un four `a temp´erature Tf . 4. Application num´erique : dans ces conditions, quel est le temps de cuisson par livre d’une dinde de 6 `a 7 kg ? Comparer le temps de cuisson n´ecessaire avec celui trouv´e en 1. 3