TD1 - imj

Universit´
e Paris-Diderot
M1 Math´
ematiques fondamentalles deuxi`
eme semestre, 2013-2014
G´
eom´
etrie diff´
erentielle
Cours de Christian Blanchet, TD de Benjamin Texier
Inversion locale et fonctions implicites
Feuille de TD 1 – s´eance du 21 janvier
1. Soit f : R3 → R2 , d´efinie par f (x, y, z) = (x2 −y 2 +z 2 −1, xyz −1). Appliquer le th´eor`eme
des fonctions implicites `
a f dans un voisinage de (x0 , y0 , z0 ) tel que f (x0 , y0 , z0 ) = 0.
2. D´ecrire {(x, y) ∈ R2 , x4 + y 3 − y 2 + x − y = 0} au voisinage de (0, 0) et (−1, 0).
3. Soit E et F deux Banach, et U un ouvert de E. Soit f : U ⊂ E → F, de classe C k ,
injective, et dont la diff´erentielle f 0 (x) est bijective pour tout x ∈ U. Prouver que f est un C k
diff´eomorphisme de U vers un ouvert de F.
4. Soit f : Rn → Rn , de classe C 1 , telle que x → f (x) − x soit k-contractante, avec
0 < k < 1. Montrer que f est un C 1 diff´eomorphisme global de Rn vers Rn .
5. Le th´
eor`
eme de Hadamard-L´
evy
Soit Rn muni de sa norme euclidienne | · |. On note aussi | · | la norme subordonn´ee dans
L(Rn ). On prouve ici le r´esultat suivant:
1
Th´
eor`
eme 1 (Hadamard-L´evy). Soit f ∈ C 2 (Rn ; Rn ) telle que f (0) = 0. On suppose que
f 0 (z) est inversible en tout z ∈ Rn ,
(1)
et qu’il existe des constantes A ≥ 0, B ≥ 0, telles que
∀z ∈ Rn ,
|f 0 (z)−1 | ≤ A|z| + B,
(2)
Alors
f est un C 2 -diff´eomorphisme de Rn vers Rn .
(3)
1) Donner un exemple pour montrer que (1) n’implique pas (3).
2) Etant donn´e x ∈ Rn , montrer que la solution maximale du probl`eme de Cauchy
(
y 0 = f 0 (y)−1 x,
y(0) = 0
est globale.
3) En d´eduire l’existence d’une application continue g : Rn → Rn telle que f ◦ g = Id.
4) Soit X un espace connexe, et φ : X → Y, continue et localement injective, telle qu’il existe
ψ : Y → X, continue, telle que φ ◦ ψ = IdY .
a) Montrer que l’image de ψ est ouverte.
b) Montrer que l’image de ψ est ferm´ee.
c) En d´eduire que φ est un hom´eomorphisme.
En d´eduire que f est un hom´eomorphisme de Rn vers Rn .
5) Conclure.
6) Applications.
a) Montrer que la restriction `
a la boule unit´e d’un isomorphisme affine assez proche de
l’identit´e se prolonge en un diff´eomorphisme de Rn ´egal `a l’identit´e hors de la boule
de rayon 2. Pr´ecis´ement: il existe ε > 0 tel que pour tous a ∈ Rn et L ∈ GLn (R)
tels que |a| < ε et |L − Id| < ε, il existe un diff´eomorphisme f : Rn → Rn tel que
f ≡ a + L dans B(0, 1), et f ≡ Id dans B(0, 2)c .
b) Soit U ⊂ Rn ouvert, contenant 0, et f0 : U → Rn telle que f 0 (0) = 0. Prouver qu’il
existe ε > 0 et un diff´eomorphisme f : Rn → Rn tels que f ≡ f0 dans B(0, ε), f ≡ Id
dans B(0, ε)c .
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6. Perturbations de valeurs propres
Soit M : U ⊂ Rd → Rn×n , de classe C ∞ . On suppose que pour un certain x0 ∈ U,
sp M (x0 ) ⊂ R, et on note P le polynˆ
ome caract´eristique de M : P (x, λ) := det(λId − M (x)).
On se donne λ0 ∈ sp M (x0 ).
a) On suppose que λ0 est une valeur simple (au sens alg´ebrique). D´ecrire le spectre de M
pour (x, λ) proche de (x0 , λ0 ).
b) On suppose ∂x P (x0 , λ0 )∂λ2 P (x0 , λ0 ) > 0. D´ecrire le spectre de M au voisinage de (x0 , λ0 ).
7. Formales normales des immersions et submersions
On dit que f : Rp → Rn est une immersion en x ∈ Rp si f 0 (x) est injective, une submersion
si f 0 (x) est surjective, une application de rang r localement constant si f 0 (x) est de rang r dans
un voisinage de x.
a) Soit f ∈ C k une immersion en x = 0, telle que f (0) = 0. Montrer qu’il existe un C k
diff´eomophisme local ψ dans un voisinage de 0 tel que ψ◦f (x1 , . . . , xp ) = (x1 , . . . , xn , 0, . . . , 0).
b) Soit f ∈ C k une submersion en x = 0, tlle que f (0) = 0. Montrer qu’il existe un C k
diff´eomophisme local ψ dans un voisinage de 0 tel que f ◦ ψ(x1 , . . . , xp ) = (x1 , . . . , xn ).
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