TD FI-GET-GPE-IMIAE: Transformée de Laplace

A. Taik
TD FI-GET-GPE-IMIAE
TD FI-GET-GPE-IMIAE: Transform´ee de Laplace
Transform´ee de Fourier
Feuille d’exercices No. 1
1. Trouver la transform´ee de Laplace des fonctions:
a) t3 + 5t2 + 2t − 1
b) e4t − 2e−4t
c) et cos(3t)
d) eat − ebt , a 6= b.
R∞
3
2. Montrer que 0 e−4t cos(2t)dt = 100
en trouvant d’abord L(tcos(2t).
R∞
3. La fonction gamma est d´efinie pour a > 0 par Γ(a) = 0 e−t ta−1 dt
a) A l’aide d’une int´egration par parties, montrer que Γ(a + 1) = aΓ(a).
b) Montrer que Γ(1) = 1 et que Γ(n + 1) = n!, n = 0, 1, 2, ...
Γ(α)
c) Montrer que L(tα−1 eat ) = (s−a))
α
4. UtiliserPles d´eveloppements:
P∞
n tn
n−1) xn
e−t = ∞
, |x| < 1, pour montrer que
n=0 (−1) n! , ln(1 + x) =
n=0 (−1)
n
1−e−1
1
L( t ) = ln(1 + s , s > 1.
5. Trouver L(f (t)) si:
a) f (t) = 1, 0 ≤ t ≤ 2
b) f (t) = t2 , 0 ≤ t ≤ 1
= t, 2 < t ≤ 4
= 3,
4<t≤6
= 2t, 1 ≤ t ≤ 3
= 4, t ≥ 3
= 0, t ≥ 6
6. Montrer que L(cosh(wt) =
s
, |s|
s2 −w2
> w et L(sinh(wt) =
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w
, |s|
s2 −w2
>w
1
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Feuille d’exercices No. 2
1. Trouver la transform´ee de Laplace inverse des fonctions:
6s−4
a) s2 −4s+20
b) s23s+7
−2s−3
s2
s2 +2s+4
c) (s+2)3
d) (s+1)3
1
e) s3 (s2 +1)
f) (s−1)21(s−2)2
g)
2s2 +1
s(s+2)2
h)
1
s(s+1)(s−2)(s−3)
bt
2. Montrer que L−1 (F (as + b)) = a1 e− a f ( at ).
3. a) Si F (s) = L(f (t)), o`u
F (s) =
1
1
2
1
2
2
+ e−s ( − 2 ) + e−3s ( + 2 − 3 ),
3
s
s s
s s
s
trouver f ( 12 ), f (2) et f (4).
b) Si F (s) = L(f (t)), o`u
F (s) =
2
2
6
1
3
+ e−2s ( 2 + 3 ) + e−4s ( + 3 ),
s
s
s
s s
trouver f (1), f (3) et f (5).
4. Utiliser le th´eor`eme de convolution pour obtenir
2
` partir de L−1 ( (s22s
L−1 ( (s2 +1)
) = tsin(t).
2) a
+1)2
5. Montrer que:
s
a)L−1 ( (s2 +a2 )(s
2 +b2 ) ) =
2
b) L−1 ( (s2 +a2s)(s2 +b2 ) )
cos(at)−cos(bt)
,
b2 −a2
asin(at)−bsin(bt)
=
,
a2 −b2
a2 6= b2 , ab 6= 0.
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Feuille d’exercices No. 3
1. R´esoudre les e´ quations diff´erentielles avec les conditions initiales:
00
0
a) x (t) + 2x (t) + x(t) = et ,
0
x(0) = 3/4, x (0) = 0.
00
b) x (t) − x(t) = sin(t),
0
x(0) = 1, x (0) = 5/2.
000
0
c) x (t) + x (t) = t2 − t + 2,
0
00
000
x(0) = 3, x (0) = −1/2, x (0) = 0, x (π) = −18.
d) x(4) (t) − 16x(t) = 30sin(t),
0
00
x(0) = 0, x (0) = 2, x (π) = 6.
00
e) x (t) − x(t) = 2u(t − 1),
0
x(0) = 0, x (0) = 1.
00
f) x (t) − x(t) = δ(t),
0
x(0) = 0, x (0) = 1.
2. R´esoudre les e´ quations diff´erentielles a` coefficients non constants
00
0
a) tx (t) − (2t + 1)x (t) + (t + 1)x(t) = 0,
0
x(0) = −3, x (1) = 0.
00
0
b) tx (t) − tx (t) + x(t) = 2t − t2 ,
x(0) = 0, x(1) = 7.
00
0
c) tx (t) − (2t + 1)x (t) + 2x(t) = 2t,
x(0) = 0, x(1) = 7.
d) Calculer x(1) et x(4) pour x(t) v´erifiant:
00
0
x (t) + 2x (t) + x(t) = 2 + (t − 3)u(t − 3),
0
x(0) = 2, x (0) = 1.
3. R´esoudre les syst`emes suivants
0
0
a) x (t) + y (t) + 2y(t) = sin(t),
0
0
x (t) + y (t) − x(t) − y(t) = 0,
x(0) = 3
00
0
b) x (t) − 2y (t) = e−t ,
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0
0
x (t) + y (t) = 3e2t − e−t + 1,
x(0) = 2, y(0) = 2
4. R´esoudre les e´ quations diff´erentielles suivantes:
2
2
a) ∂∂t2u − ∂∂xu2 − 2 = 0, x > 0, t > 0,
(x, 0) = 0, limx→∞ ∂u
(x, t) = 0
u(x, 0) = 0, u(0, t) = 0 ∂u
∂t
∂x
b) ∂u
+ 4 ∂u
+ 8t = 0, x > 0, t > 0,
∂x
∂t
limt→0 u(x, t) = 0, limx→0 u(x, t) = 2t2
Probl`emes Pratiques
1. Probl`eme 1: PROBLEME DE MELANGE COMPORTANT DEUX RESERVOIRS
Soit un r´eservoir T 1 contenant 100 litres deau pure. Un second r´eservoir T 2 contient aussi
100 litres deau, mais dans lequel on a dissous 150 kilogrammes de sel. Le r´eservoir T 1
est aliment´ee par une tubulure a` raison de 8 litres/minute depuis laqueduc, et a` raison de
2l/minute depuis le r´eservoir T 2. Une autre tubulure refoule a` raison de 8 litres/minutes
depuis le r´eservoir T 1 vers T 2 . Finalement, pour maintenir l´equilibre dans la contenance
des r´eservoir, le r´eservoir T 2 doit bien sˆur refouler 8 litres/minutes dans le syst`eme d´egout.
La concentration de sel dans les r´eservoirs est homog´eneis´e par brassage m´ecanique. Trouver
les quantit´es de sel y1(t) et y2(t) qui se trouvent a` tout instant dans les r´eservoirs respectifs
T 1 et T 2 .
Figure 1: M´elange comportant deux r´eservoirs.
2. Probl`eme 2 : CIRCUIT ELECTRIQUE
Soit a` trouver lexpression du courants i1 (t) et i2 (t) dans le circuit e´ lectrique suivant (voir
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Figure 2: Circuit e´ l´ectrique.
figure 2) : sachant qu`a linstant initial t = 0 : i1 (0) = 0 et i2 (0) = 0 , et que la forme de la
tension est : ν(t) = 100, 0 < t < 21 et ν(t) = 0, t > 21 (envolts).
3. Probl`eme 3: MECANIQUE DE TRANSLATION COMPLEXE
Il sagit du syst`eme en m´ecanique de translation avec 2 masses et trois ressorts (voir Figure
3) dans lequel m1 = m2 = 1 et k1 = k2 = k3 = k, et dont les conditions initiales sont :
Figure 3: M´ecanique de translation complexe.
0
0
y1 (0) = 1, y1 (0) = 3k, y2 (0) = 1, y2 (0) = −3k. Trouver alors lexpression des positions
y1(t) et y2(t) a` laide de la transform´ee de Laplace.
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1. Utiliser dans chaque cas une transform´ee de Fourier dappropri´ee et r´esoudre le probl`eme.
a)
∂u
∂ 2u
=
, 0 < x < 4, t > 0
∂t
∂x2
u(0, t) = 0, u(4, t) = 0, u(x, 0) = 2x
b)
∂u
∂ 2u
=
, x > 0, t > 0
∂t
∂x2
∂u
(0, t) = 0, u(x, 0) = x, 0 < x < 1, u(x, 0) = 0, x > 1
∂x
c)
d)
e)
∂u
∂ 2u
=
, 0 < x < 1, t > 0
∂t
∂x2
u(0, t) = 0, u(1, t) = 0, u(x, 0) = a, a ∈ R
∂u
∂2u
=
+ 2x, 0 < x < 1, t > 0
∂t
∂x2
u(0, t) = 0, u(1, 0) = 0, u(x, 0) = x − x2 , 0 < x < 1
∂u
∂ 2u
= 4 2 , 0 < x < 4, t > 0
∂t
∂x
∂u
∂u
(0, t) = 0,
(4, t) = 0,
∂x
∂x
u(x, 0) = 3x, 0 < x < 2, u(x, 0) = 12 − 3x, 2 < x < 4
2. R´esoudre le probl`eme
∂ 2u ∂ 4u
+ 4 = 0, 0 < x < 2, t > 0
∂t2
∂x
∂ 2u
∂ 2u
u(0, t) = 0, u(2, t) = 0,
u(0,
t)
=
0,
u(2, t) = 0
∂x2
∂x2
∂u
u(x, 0) = 0,
(x, 0) = sin(x),
∂t
3. Une feuille de m´etal d’´epaisseur 10 cm et a` une temp´erature de 1000C est immerg´ee dans un
bain d’huile a` 150C. Supposons la feuille suffisammment grande pour que la perte de chaleur
seu le contour soit n´egligeable. La temp´erature T a` une distance x d’une face de la feuille au
2
= α ∂∂xT2 , α = 0.8cm2 /sec est la diffusion thermique. Calculer
temps t satisfait l’´equation ∂T
∂t
la temp´erature au centre de la feuille apr`es 10 seconde.
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