Énoncé Corrigé

MPSI B
22 novembre 2014
´
Enonc´
e
Corrig´
e
1. En combinant lin´eairement deux solutions, on obtient clairement une solution. Cela r´esulte des propri´et´es des op´erations fonctionnelles.
Dans tout l’exercice, les solutions cherch´ees sont des fonctions `a valeurs r´eelles.
Cela n’interdit pas la consid´eration de fonctions `a valeurs complexes comme interm´ediaire de calcul.
On ´etudie l’´equation fonctionnelle
(1)
2. Solution de y 00 (x) + y(x) = cos x
L’´equation caract´eristique admet une racine double i, le second membre est
la partie r´eelle de eit . On doit donc chercher une solution particuli`ere sous la
forme Ax sin x. On trouve que l’ensemble des solutions est
o
n
x
λ cos x + µ sin x + sin x, (λ, µ) ∈ R2
2
et λ un r´eel quelconque ; y1 + y2 et λy1 sont ils encore solutions de la mˆeme
´equation ?
Si f est une solution paire de cette ´equation, il existe un λ et un µ tels que
f = λ cos x + µ sin x + x2 sin x. En ´ecrivant que f est paire, on obtient (pour
tous les x)
µ sin x = 0
y 00 (x) + y(−x) = x + cos x
1. Soit y1 et y2 deux solutions de l’´equation
y 00 (x) + y(−x) = 0
2. R´esoudre les ´equations suivantes en pr´ecisant pour chacune l’ensemble des
solutions paires et impaires.
y 00 (x) + y(x) = cos x
00
y (x) − y(x) = x
donc µ = 0. La r´eciproque est ´evidente. L’ensemble des solutions paires de
(2) est donc
n
o
x
λ cos x + sin x, λ ∈ R
2
De mˆeme, si f est une solution impaire de cette ´equation, il existe un λ et
un µ tels que f = λ cos x + µ sin x + x2 sin x. En ´ecrivant que f est impaire,
on obtient (pour tous les x)
(2)
(3)
3. question de cours
Soit f une fonction d´efinie dans R, montrer qu’il existe un unique couple
de fonctions (u, v) telles que u soit paire, v soit impaire et f = u + v. On
prendra soin de r´ediger s´epar´ement les argumentations assurant l’existence
et l’unicit´e. On dit que u est la partie paire et v la partie impaire de f .
λ cos x +
x
sin x = 0
2
Il n’existe pas de nombre r´eel v´erifiant cela, l’´equation (2) n’admet pas de
solution impaire.
Solution de y 00 (x) − y(x) = x
Les racines de l’´equation caract´eristique sont 1 et −1, la fonction x → −x
est une solution ´evidente de l’´equation compl`ete. L’ensemble des solutions
est donc
x
λe + µe−x − x, (λ, µ) ∈ R2
4. Soit f une solution de (1), u sa partie paire et v sa partie impaire. Former une
´equation diff´erentielle dont u est solution, former une ´equation diff´erentielle
dont v est solution.
5. Pr´eciser l’ensemble des solutions de (1).
qui s’´ecrit aussi
λ ch x + µ sh x − x, (λ, µ) ∈ R2
Par un raisonnement analogue au pr´ec´edent on obtient que l’´equation (3)
n’admet pas de solutions paires et que l’ensemble de ses solutions impaires
est
{µ sh x − x, µ ∈ R}
Cette cr´
eation est mise `
a disposition selon le Contrat
Paternit´
e-Partage des Conditions Initiales a
` l’Identique 2.0 France
disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1
R´
emy Nicolai Aeqd4
MPSI B
22 novembre 2014
3. Voir cours
4. Soit f une solution de (1), d´efinissons une fonction g en posant g(x) = f (−x).
En d´erivant, on obtient g 0 (x) = −f 0 (−x), g 00 (x) = f 00 (−x). Avec ces relations,
´ecrivons (1) en x et en −x :
f 00 (x) + g(x)
00
g (x) + f (x)
= x + cos x
= −x + cos x
Comme u(x) = 12 (f (x) + g(x)) et v(x) = 12 (f (x) − g(x)), on en d´eduit
u00 (x) + u(x) = cos x,
v 00 (x) − v(x) = x
5. D’apr`es les questions pr´ec´edentes, si f est une solution de (1) alors sa partie
paire u est une solution paire de (2) et sa partie impaire v est une solution
impaire de (3). Il existe donc deux r´eels λ et µ tels que
f (x) = λ cos x +
x
sin x + µ sh x + x
2
On peut v´erifier par le calcul que toute fonction de cette forme est bien
solution de (1).
Cette cr´
eation est mise `
a disposition selon le Contrat
Paternit´
e-Partage des Conditions Initiales a
` l’Identique 2.0 France
disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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R´
emy Nicolai Aeqd4

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