D.M. N° 14. Une famille de fonctions : N° 92 page

D.M. N° 14. Une famille de fonctions : N° 92 page 175. Enonce.
1  n ln  x 
où n désigne un entier naturel non nul.
x2
la courbe représentative de f n tracée dans un repère orthonormé.
On considère la fonction f n définie sur 0;  par f n  x  
On appelle  Cn 
1°) Déterminer les limites de f n en 0 et en  .
2°) Montrer que f n'  x  
n  2  2n ln  x 
x3
3°) Dresser le tableau de variations de la fonction f n .
Montrer que pour tout entier naturel n non nul , cette fonction admet un maximum en un réel an  0 .
4°) Calculer la valeur de ce maximum bn .
5°) A l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique.
Tracer les courbes représentatives des fonctions f n pour 1  n  30 , on utilisera un curseur et le mode « trace
activée » pour les différentes courbes.
Conjecturer alors les limites des suites  an  et  bn  .
Vérifier que toutes les courbes  Cn  passent par un point fixe dont on déterminera les coordonnées.
6°) Déterminer, par le calcul, les coordonnées du point fixe par lequel passent toutes les courbes
7°) Calculer les limites des suites
 an  et  bn  .
REMARQUE :
Une petite erreur d’énoncé dans la deuxième question
Il faut lire f n'  x  
n  2  2n ln  x 
n  2  2n ln  x 
'
et
pas
f
x



n
x3
x2
1
 Cn  .

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