t0 - CAPES de Maths

LEÇON N˚ 55 :
Courbes planes définies par des équations
paramétriques.
Pré-requis :
– Fonctions R −→ R : limites, continuité, dérivabilité, . . . ;
– Vecteurs : notions élémentaires, norme ;
– Coniques : définitions monofocale et par équation réduite, généralisation bifocale des coniques à centre.
On se place dans le plan affine euclidien orienté P muni d’un repère orthonormé direct (O,~i,~j).
55.1
Courbes planes définies par des équations paramétriques
Définition 1 : Étant données deux fonctions f , g définies et continues sur un intervalle I ⊂
D f ∩ Dg , on appelle courbe paramétrée plane l’ensemble Γ des points M (t ) déterminés pour
t ∈ I par
−→
OM (t ) = f (t )~ı + g (t )~.
Le système
x = f (t )
,
y = g (t )
t∈I
est appelé système d’équations paramétriques de Γ.
Interprétation cinématique :
Lorsque t désigne le temps, M(t) est la position du point mobile M à l’instant t, et Γ la trajectoire de M.
55.2
Étude locale d’une courbe paramétrée
55.2.1 Vecteur dérivé et tangente
Soit t0 ∈ I fixé arbitrairement. Supposons que f et g soient de classe C 2 sur I, de sorte que la
formule de Taylor à l’ordre 2 appliquée à f et g en posant
−−→
dn M
(t0 ) = f (n) (t0 )~i + g(n) (t0 )~j
n
dt
pour n = 1 et 2 donne pour tout t ∈ I \{t0 } :
2
Courbes planes définies par des équations paramétriques
−−→
−→
−−−−−−−→
( t − t 0 ) 2 d2 M
dM
(t0 ) + (t − t0 )2 ~ε(t)
( E)
M ( t0 ) M ( t ) = ( t − t0 )
( t0 ) +
2
|{z}
dt
2
dt
−t−
→ ~0
→t
0
−−→
−−−−−−−→
−→
M ( t0 ) M ( t )
t − t 0 d2 M
dM
⇔
( t0 ) +
=
(t0 ) + (t − t0 )~ε(t)
t − t0
dt
2
dt2
 −−→

−−−−−−−→ −→
2
M (t ) M (t) dM
1 d M
0
 −→ 0.
−
( t0 ) 6 | t − t0 |  ( t0 ) ⇒ + k~ε(t)k −
2
t − t0
t → t0
dt
2
dt
−−−−−−→
M ( t0 ) M ( t )
Définition 2 : Soient t0 ∈ I et v(t ) :=
. On appelle vecteur dérivé à la courbe Γ en
t − t0
M (t0 ) le vecteur défini par
−−−−−−→
−→
dM
M ( t0 ) M ( t )
=
(t0 ) = f ′ (t0 )~i + g ′ (t0 )~j.
lim ~v(t ) = lim
t → t0
t → t0
t − t0
dt
On le note ~v(t0 ) par commodité.
−→
dM
Remarque 1 : Lorsque
(t0 ) 6= ~0, la droite sécante M(t0 ) M(t) (définie par M(t0 ) et le vecteur direcdt
teur ~v(t)) a pour limite quand t → t0 la droite définie par M(t0 ) et le vecteur directeur ~v(t0 ). Ainsi, cela
justifie les définitions suivantes.
55.2.2 Point régulier
Définition 3 : Soient Γ une courbe de classe C 1 sur I (i.e. f , g ∈ C 1 ( I )) et t0 ∈ I. Le point
M (t0 ) ∈ Γ est dit régulier si
−→
dM
(t0 ) 6= ~0.
dt
Interprétation cinématique :
−→
Le vecteur dM/dt (t0 ) représente le vecteur vitesse instantanée à l’instant t0 . Un point régulier est donc un point
à vitesse non nulle, et la tangente à la trajectoire d’un point mobile en un point régulier est dirigée par le vecteur
−−→
vitesse. De même, le vecteur d2 M/dt2 (t0 ) représente le vecteur accélération instantanée à l’instant t0 .
55.3
Étude au voisinage d’un point régulier M(t0 )
Dans la suite, Γ désigne une courbe de classe C k (k > 2).
3
Courbes planes définies par des équations paramétriques
55.3.1 Point birégulier
!
−→
−→
d2 M
dM
( t0 ) ,
(t0 ) est un système libre.
dt
dt 2
Définition 4 : M (t0 ) ∈ Γ est dit birégulier si
−−→
d2 M
(t0 ). Si ~v(t0 ),~a(t0 ) est un système libre, alors on peut écrire ~ε(t) =
Posons ~a(t0 ) =
2
dt
α(t)~v(t0 ) + β(t)~a(t0 ), avec lim α(t) = lim β(t) = 0, donc
t → t0
t → t0
−−−−−−−→
1
M (t0 ) M (t) = (t − t0 ) 1 + α(t) ~v(t0 ) + (t − t0 )2 1 + 2β(t) ~a(t0 ).
2
Dans le repère M (t0 ), ~v(t0 ),~a(t0 ) , M (t) a pour coordonnées X (t) = (t − t0 ) 1 + α(t) , du signe
de t − t0 pour t proche de t0 (en effet, α(t) → 0 lorsque t → t0 ), et Y (t) = 21 (t − t0 )2 1 + 2β(t) > 0
pour t proche de t0 . D’où l’allure de la courbe Γ au voisinage d’un point birégulier M (t0 ) :
( E)
⇔
~a(t0 ) =
−−→
d2 M
dt2
( t0 )
Γ
~v(t0 ) =
−→
dM
dt
M ( t0 )
( t0 )
55.3.2 Point d’inflexion analytique
Définition 5 : Un point M (t0 ) ∈ Γ est appelé point d’inflexion analytique si ~v(t0 ) 6= ~0 et
~v(t0 ), ~a(t0 ) est un système lié.
−
→n
dn M
Pour tout n ∈
notons v (t0 ) =
(t0 ) et, M(t0 ) étant un point d’inflexion analytique,
dtn
−
→
on note encore q le plus petit entier tel que ~v(t0 ), vq (t0 ) soit libre. Si q > 2, pour tout k ∈
−
→
−
→
{2, . . . , q − 1}, vk (t0 ) et ~v(t0 ) colinéaires et donc ~v(t0 ) 6= ~0 ⇒ ∀ k, ∃ λk ∈ R | vk (t0 ) = λk~v(t0 ).
Comme précédemment, on montre que
!
q −1
−−−−−−−→
→q
( t − t0 ) q −
λ k ( t − t0 ) k
+ α(t) +
v (t0 ) · 1 + q! β(t) .
M (t0 ) M (t) = (t − t0 )~v(t0 ) 1 + ∑
| {z }
k!
q!
{z
}
|k=2
−t−
→0
→ t0
0
−t−
→
→t
N∗ ,
0
D’où l’allure de la courbe selon la parité de q :
−
→q
v ( t0 )
−
→q
v ( t0 )
Γ
M ( t0 )
~v(t0 )
Γ
~v(t0 )
q impair
M ( t0 )
q pair
Remarque 2 : Lorsque q est impair, la courbe "traverse" sa tangente, c’est une inflexion géométrique.
4
Courbes planes définies par des équations paramétriques
55.3.3 Point stationnaire
Définition 6 : Un point M (t0 ) ∈ Γ est dit stationnaire si ~v(t0 ) = ~0.
On associe au point M (t0 ) deux entiers p et q tels que p soit le plus petit entier vérifiant
−
→p
−
→
−
→
v (t0 ) 6= ~0 et q le plus petit entier tel que v p (t0 ), vq (t0 ) soit libre dans le plan vectoriel. Comme
−
→
−
→
d’habitude, on montre que dans le repère M (t0 ), v p (t0 ), vq (t0 ) , on a M (t) = X (t), Y (t) , où
( t − t0 ) q
et signe Y (t) =
q!
( t − t0 ) p
signe X (t) =
p!
lorsque t est proche de t0 . D’où les quatre cas possibles :
p pair
q
impair
M ( t0 )
p impair
M ( t0 )
•
3
1
q
pair
•
•
M ( t0 )
•
M ( t0 )
2
1. Rebroussement de 1re espèce
2. Rebroussement de 2e espèce
3. Inflexion
4. Méplat
h
x ( t ) = t2 , y ( t ) =
4
t3
et
i
pour t ∈ [−3 ; 3] ;
x (t) = 2t − t12 + 3, y(t) = 2t + t2 + 1 pour t ∈ [−2, 6 ; −0, 45] ;
h
i
3
x (t) = t5 , 25 tet pour t ∈ [−0, 72 ; 1, 2] ;
x (t) = t3 , y(t) = t6 pour t ∈ [−1, 17 ; 1, 17] .
Interprétation cinématique des cas 1 et 2 :
« Pour rebrousser chemin, il faut d’abord s’arrêter. » Nécessairement, M(t0 ) est un point stationnaire.
Remarque 3 : Les équations des courbes ci-dessus ont été explicitées afin de pouvoir vérifier qu’il s’agit
bien à chaque fois d’un point stationnaire : il suffit de calculer x ′ (t) et y′ (t) et vérifier si elles s’annulent
bien en zéro.
5
Courbes planes définies par des équations paramétriques
55.4
Étude des branches infinies
Soit I = [ a, b[.
Définition 7 : On dit que Γ (défini sur I) présente une branche infinie lorsque t → b si
lim OM (t ) = +∞,
t →b
O étant un point arbitrairement fixé dans P.
Remarque 4 : Cette définition ne dépend pas du choix du point O. En effet, si O′ désigne un autre point
de P, alors l’inégalité triangulaire nous assure que
′
′
′
O M(t) − OO 6 OM(t) 6 O M(t) + OO
′
⇒
′
lim OM(t) = +∞ ⇔ lim O M(t) = +∞ .
t→b
t→b
−−→
Soient λ, p ∈ R et m ∈ R ∗ . Lorsque OM (t) = f (t)~ı + g(t)~, on a plusieurs cas à distinguer :
⋄
f (t ) → ±∞ et g (t ) → λ : Γ admet y = λ pour asymptote horizontale ;
⋄
g (t ) → ±∞ et f (t ) → λ : Γ admet x = λ pour asymptote verticale ;
⋄
g (t )
→ +∞ (resp. 0) : Γ admet une branche parabolique parallèlement à (Oy) (resp. (Ox )) ;
f (t )
⋄
g (t )
→ m : Γ admet y = mx pour direction asymptotique ;
f (t )
⋄
g (t )
→ m et, de plus, g (t ) − m f (t ) → p : Γ admet y = mx + p pour asymptote oblique ;
f (t )
⋄
Autres cas : On ne peut rien dire. . .
55.5
Exemples
55.5.1 Épicycloïde à trois rebroussements
On considère le cercle fixe C f de centre O et de rayon 3, ainsi que le cercle mobile Cm de rayon 1
roulant sur C f sans glisser. On repère un point M sur Cm et on étudie sa trajectoire en fonction
du temps t ∈ R. Le reste des notations, notamment d’angles, se trouve sur la figure ci-dessous :
6
Courbes planes définies par des équations paramétriques
Notons
−
→
ut = cos(t)~ı + sin(t)~.
−−→ −−→
−−→
→
→. Or
Donc OM(t) = OO′ + O′ M(t) = 4−
ut + −
u
ϕ
M(t)
↓
•
Cm
O′
les deux arcs M (0) I et I M (t) ont la même longueur car Cm roule sans glisser sur C f , donc
3t = α (angles en radians ! !). D’où
ϕ
α
Cf
I
−−→ ~ı, O′ M(t)
−−−−−−−−−→
−−→
−−→ −−→
= (~ı, OO′ ) + (OO′ , O′ O) + O′ O, O′ M(t)
= t + π + α = 4t + π.
Cm
ϕ =
t
~
O
•
~ı
տ M (0)
D’où
−−→
→
→
u−−
OM(t) = 4−
ut + −
4t+π
= (4| cos t {z
− cos 4t})~ı + (4| sin t {z
− sin 4t})~.
f (t)
g(t)
Remarques 5 :
−−→
−−→
⋄ OM(t + 2π ) = OM(t) ⇒ réduction de l’intervalle d’étude à [0, 2π ].
⋄ f (2π − t) = f (t) et g(2π − t) = − g(t) ⇒ Γ est symétrique par rapport à (Ox ) ⇒ réduction de
l’intervalle à [0, π ].
Le calcul de f ′ et g′ donne alors les tableaux de variations suivants :
t
3π
5
π
5
0
f ′ (t)
+
f (t)
%
0
−
&
0
2π
3
+
0
%
π
O
•
•
2π
5
0
−
g′ (t)
+
&
g(t)
%
On arrive ainsi à la représentation graphique :
•
t
On a
0
2π
3
−
&
0
4π
5
+
π
−
0
%
&
−→
dM
3t −
(t) = 8 sin
u→
5t ,
2
dt
2
donc
−→
3t
dM
(t) = ~0 ⇔ sin
=0
dt
2
2π 4π
⇔ t = 0,
,
3 3
(mod 2π ),
ce qui nous donne trois points stationnaires
(points bleus sur le graphique) qui sont des rebroussements de première espèce étant donnée
l’interprétation physique.
7
Courbes planes définies par des équations paramétriques
55.6
Paramétrisation des coniques, tangente en un point
Conique Γ
Parabole P
Rappel : Si D (O,~ı) est l’axe focal,
y2 = 2px
une équation de Γ est :
Théorème 1 : Γ est définie par
les équations paramétriques
t2
2p
y=t
x=
t∈R
Ellipse E
Hyperbole H
x 2 y2
=1
+
a2
b2
( a > b)
x 2 y2
− 2 =1
a2
b
x = a cos t
x = ± a/ cos t
y = b sin t
y = b tan t
i π πh
t∈ − ,
2 2
t ∈ [0, 2π [
démonstration (théorème 1) :
P : M( x, y) ∈ P ⇔ y2 = 2px. On pose simplement y = t, t ∈ R.
E : Par définition des fonctions cosinus et sinus, on a que pour tout t ∈ R, cos2 t + sin2 t = 1. Ainsi,
pour tout (u, v) ∈ R2 vérifiant u2 + v2 = 1, on peut faire correspondre, modulo 2π, un réel t tel
que u = cos t et v = sin t. Par suite, pour tout M( x, y) ∈ P, on a
x2
y2
x
y
+
= 1 ⇔ ∃ t ∈ [0, 2π [ | = cos t et
= sin t.
2
2
a
b
a
b
H : La fonction t 7−→ tan t est une bijection de ] − π/2, π/2[−→ R. De plus, la fonction t 7−→
1/ cos t (paire) est une bijection de 5[0, π/2] −→ [1, +∞[. Pour tout t ∈ ] − π/2, π/2[, on a
1/ cos2 t − tan2 t = 1. D’où le résultat :
∀ M( x, y) ∈ H ,
i π πh x
x2
y2
1
y
−
=
1
⇒
∃
t
∈
− ,
et
= tan t.
| =±
a2
b2
2 2
a
cos t
b
Pour chacune des trois coniques, la réciproque est évidente : il suffit en effet d’effectuer le calcul.
55.6.1 Quelques tracés. . .
Exercice : Tracer dans un même repère orthonormé les courbes paramétrées suivantes :



6 cos t
cos t
cos t



x (t) =
−1
+1
x (t) =
x (t) =









5
2
2
2
sin t
sin t
; (Od )
( B) y(t) = − sin t
; (Og )
y(t) =
+2
y(t) =
+2






2 + sin t
2
2






t ∈ [0, 2π ]
t ∈ [π, 2π ]
t ∈ [0, 2π ]


3t

cos3 t
cos




x
(
t
)
=
x
(
t
)
=




3
3
1
1 sin3 t
( Nh )
et ( Nb )
3
y(t) = + sin t
y(t) = +




2


2
10



t ∈ [0, π ]
t ∈ [0, π ] .
Solution : Voici le graphique attendu. . .
;
8
Courbes planes définies par des équations paramétriques
2
1
−1
O
1
−1
Je laisse au lecteur le soin de reconnaître les différentes courbes. . .
c 2012 par Martial LENZEN.
Aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l’article L. 122-5 du code de la
propriété intellectuelle, ne peut être faite sans l’autorisation expresse de l’auteur.
♦

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