Corrigé de l`exercice sur la réflexion d`une onde sur un miroir mobile

Corrigé de l’exercice sur la réflexion d’une onde sur un miroir mobile.
𝑥
On suppose que l’onde incidente est 𝐸⃗𝑖/𝑅 = 𝐸𝑖𝑜/𝑅 cos⁡(𝜔 (𝑡 − 𝑐 ))𝑢
⃗ 𝑦 dans le référentiel (𝑅) du
laboratoire.
Soit (𝑅 ′ ) le référentiel en translation uniforme à la vitesse 𝑣 = 𝑣𝑢
⃗ 𝑥.
La transformation de Lorentz donne les expressions de changement de référentiel suivantes :
𝑣
𝑥 = 𝛾(𝑥 ′ + 𝑣𝑡 ′ ) ; 𝑡 = 𝛾(𝑡 ′ + 𝑐 𝑥 ′ ) ; avec 𝛾 =
1
2
√1−𝑣2
𝑐
𝑣
1
Dans (𝑅 ′ ) l’onde incidente s’écrit : 𝐸⃗𝑖/𝑅′ = 𝐸𝑖𝑜/𝑅′ cos⁡(𝜔 (𝛾(𝑡 ′ + 𝑐 𝑥 ′ ) − 𝑐 𝛾(𝑥 ′ + 𝑣𝑡 ′ )))𝑢
⃗ 𝑦 ce
′
𝑣
𝑥
𝑣
qui donne : 𝐸⃗𝑖/𝑅′ = 𝐸𝑖𝑜/𝑅′ cos⁡(𝜔𝛾(1 − 𝑐 )(𝑡 ′ − 𝑐 ))𝑢
⃗ 𝑦 ; sa pulsation est donc 𝜔1 = 𝜔𝛾(1 − 𝑐 )
Il faut remarquer que l’amplitude de l’onde n’est pas la même dans les deux référentiels.
𝑣
𝑥′
L’onde réfléchie dans (𝑅 ′ ) s’écrit : 𝐸⃗𝑟/𝑅′ = −𝐸𝑖𝑜/𝑅′ cos⁡(𝜔𝛾(1 − 𝑐 )(𝑡 ′ + 𝑐 ))𝑢
⃗𝑦
Puis on change de référentiel, toujours en appliquant la TF de Lorentz mais cette fois pour
𝑣
passer de (𝑅 ′ ) à (𝑅) : 𝑥′ = 𝛾(𝑥 − 𝑣𝑡) ; 𝑡′ = 𝛾(𝑡 − 𝑐 𝑥) ; ce qui donne :
𝑣
𝑣
1
𝐸⃗𝑟/𝑅 = −𝐸𝑟𝑜 cos⁡(𝜔𝛾(1 − 𝑐 )(𝛾(𝑡 − 𝑐 𝑥) + 𝑐 𝛾(𝑥 − 𝑣𝑡)))𝑢
⃗ 𝑦 soit :
2
2
𝑣
𝑣
𝑣
𝐸⃗𝑟/𝑅 = −𝐸𝑟𝑜 cos⁡(𝜔𝛾 2 (1 − 𝑐 ) (𝑡 + 𝑐 𝑥))𝑢
⃗ 𝑦 ; sa pulsation est donc 𝜔′ = 𝜔𝛾 2 (1 − 𝑐 ) .
Comme 𝑣 << 𝑐 on peut écrire : 𝜔′ = 𝜔(1 −
2𝑣
𝑐
).

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