Online- Fragen zur Serie 2

D-MATH, D-PHYS
Prof. H. Kn¨
orrer
Funktionentheorie
HS 2014
Online-Fragen zur Serie 2
Einsendeschluss: Dienstag, der 14.10.2014, 15:00 Uhr
1. Welche der beiden folgenden Aussagen gilt f¨
ur jede holomorphe Funktion f
und jeden glatten Weg γ?
(a)
Re
f (z) dz =
γ
Re f (z) dz.
γ
Nein, diese Aussage ist falsch, denn das Wegintegral enth¨
alt auch noch die Ableitung
von γ. Als Beispiel nehmen Sie f (z) = 1 und f¨
ur γ den Weg von i nach 2i entlang der
imagin¨
aren Achse: Dann ist die linke Seite 0, die rechte aber i.
(b)
Aus f = 0 auf γ folgt
f (z) dz = 0.
γ
Nein. F¨
ur die Funktion f (z) = z ist das Integral entlang der einmalig durchlaufenden
Kreislinie Null.
√
(c)
Keine der Aussagen ist korrekt.
Richtig.
(d)
Beide sind korrekt.
Nein.
1
2. Sei γ der Kreis {z ∈ C : |z − a| = R} mit Gegenuhrzeigersinn-Orientierung.
F¨
ur ein beliebiges Polynom P gilt ...
(a)
P (¯
z ) dz = 0.
γ
Ein Gegenbeispiel ist: P (w) = w.
√
(b)
P (z) dz = 0.
γ
Dies folgt mit dem Satz von Cauchy.
(c)
P (¯
z ) dz = 2πiP (¯
a).
γ
Ein Gegenbeispiel ist: P = 1.
√
P (¯
z ) dz = 2πiR2 P (¯
a).
(d)
γ
Der Kreis hat die Parameterdarstellung t → a + Reit , 0 ≤ t ≤ 2π. Jedes Polynom P (w)
ist eine Linearkombination von Monomen (w − a
¯)n . F¨
ur diese gilt:
γ
γ
(e)
2π
(¯
z−a
¯)n dz =
P (¯
z ) dz =
(Re−it )n Rieit dt = 2πiR2 δn,1 = 2πiR2 P (¯
a).
0
P (z) dz = Q(a), wobei Q die Stammfunktion von P ist, die in 0 verγ
schwindet.
Ein Gegenbeispiel ist: P = 1, a = 0.
3. Seien γ die Strecke von a ∈ C nach b ∈ C, a = b und f : C → C eine stetige
Funktion. Dann gilt ...
|b|
(a)
f (z) dz = v
f (tv) dt mit v =
|a|
γ
b−a
|b−a| .
1
(b)
f ((1 − t)a + tb) dt.
f (z) dz =
γ
0
Es fehlt γ(t).
˙
√
1
f (z) dz = (b − a)
(c)
γ
f ((1 − t)a + tb) dt.
0
Die Parameterdarstellung ist γ : t → (1 − t)a + tb, mit 0 ≤ t ≤ 1, γ(t)
˙
= b − a.
√
|b−a|
(d)
f (z) dz = v
γ
f (a + tv) dt mit v =
0
b−a
|b−a| .
Die Parameterdarstellung ist γ : t → a + tv, mit Bogenl¨
angenparameter t ∈ [0, |b − a|]
und γ(t)
˙
= v.
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