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Geraden im R2
Mathematik Grundkompetenzen
Name und Klasse:
→
− − →
−
−
1. Gegeben seien die Vektoren →
a , b ,→
c , d wie in der Abbildung. Bestimme ob die Skalarprodukte der Vektoren aus den gegebenen Winkeln größer/kleiner/gleich 0 sind:
→
−
→
−
e · d <0
→
−
→
−
a · b <0
→
−
−
w ·→
v <0
→
−
→
−
a · e <0
→
−
−
v ·→
e <0
→
−
→
−
e · d =0
→
−
→
−
a · b =0
→
−
−
w ·→
v =0
→
−
→
−
a · e =0
→
−
−
v ·→
e =0
→
−
→
−
e · d >0.
→
−
→
−
a · b >0.
→
−
−
w ·→
v >0.
→
−
→
a ·−
e >0.
→
−
→
−
v · e >0.
2. Gegeben sei die Gerade g durch die Punkte A und B wie in der Abbildung.
(a) Welche der folgenden Ausdrücke beschreibt g in Parameterdarstellung?
−−→
g : X = A + t · AB.
−−→
g : X = −B + s · AB.
−−→
g : X = B + (−s) · AB.
−
−
−
g : X = E + t · (→
v +→
u +→
w ).
−
3 →
g : X = C − (2 · t) · ( 2 · c ).
−→
(b) Wir betrachten den Punkt E auf g mit Parameterdarstellung X = D −t· AC. Mit welchem
t ∈ R erhält man den Punkt E für die gegebene Parameterdarstellung?
t = −4. t = 3. t = 4. t = − 20
t = −3.
5 .
Geraden im R2
Mathematik Grundkompetenzen
3. Gegeben sind die folgenden Geraden:
1
−3
4
x
g: X =
+t·
und h : X =
+s·
.
2
9
5
6
Kreuze an, welche Lage g und h zueinander haben, wenn wenn x den angegebenen Wert hat.
x = −2: g ist parallel zu h g steht normal auf h weder gkh noch g⊥h
x = 7 : g ist parallel zu h g steht normal auf h weder gkh noch g⊥h
x = 18: g ist parallel zu h g steht normal auf h weder gkh noch g⊥h
4. Wir kennen zwei Möglichkeiten, eine Gerade im R2 mit Vektoren darzustellen:
−
−→ Durch einen Punkt P ∈ R2 , einen Vektor →
g ∈ R2 einen (freien) Parameter t ∈ R:
−
g : X = P + t→
g .
−→ Als Punktmenge
g
|{z}
={
2
X
| ∈
{z R}
sind alle Punkte
X∈R2
Die Gerade g
|
|{z}
X
|{z}
−
=P +t·→
g,
lässt sich
für
die anschreiben als
gilt:
t| ∈
{zR}
}
für ein t∈R
=
“man kann ein
passendes t∈R
finden”
Bei der Darstellung als Punktmenge kann man den zulässigen Bereich für t einschränken, das
heißt zum Beispiel sagen t ∈ [0, 1] (t liegt im Intervall [0, 1]).
−
Wenn wir die Grafik betrachten, sehen wir, dass es sich bei {X ∈ R2 | X = P + t · →
g , t ∈ [0, 1]}
um die Strecke P C handelt. Also gilt:
−
P C = {X ∈ R2 | X = P + t · →
g , t ∈ [0, 1]} .
Gib die Intervalle für t an, um die nachfolgenden Strecken zu beschreiben:
(a) P E: t ∈ [
(b) P D: t ∈ [
,
,
]
]
(c) CE: t ∈ [
(d) BD: t ∈ [
,
,
]
]

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