Mathematik Labor Projekt Fourier

Mathematik Labor Projekt Fourier-Reihe
1 Lernziele
Die Studierenden lernen
• Schaubilder von Funktionen zu erstellen
• Funktionen zu programmieren
• Kontrollstrukturen zu programmieren
• Berechnungen mit komplexen Zahlen durchzuführen
• Näherungswerte für Integrale mithilfe der Sehnentrapezregel zu ermitteln
• Fourier-Koeffizienten numerisch zu berechnen
• Betrags- und Phasenspektren zu erstellen
2 Aufgabenstellung
Für die Fourier-Koeffizienten sollen mithilfe der Sehnentrapezregel numerische Näherungswerte berechnet werden.
Die Annäherung der Funktion durch die Fourier-Reihe und die Spektren sollen visualisiert werden.
3 Vorgehensweise
Die Vorgehensweise kann in den folgen Schritten erfolgen
1. Periodische Funktion als Scilab-Funktion realisieren
2. Näherungswerte für reelle Fourier-Koeffizienten mithilfe der summierten Sehnentrapezregel berechnen
3. Fourier-Reihe durch trigonometrisches Polynom approximieren
4. Komplexe Fourier-Koeffizienten ermitteln und Spektren grafisch darstellen
Prof. Dr. Jürgen Koch
1
27. November 2015
Mathematik Labor Projekt Fourier-Reihe
3.1 Periodische Funktion
Die abgebildete 2 π-periodische Funktion ist definiert durch
2 π für −π < t ≤ 0
f (t) =
2(π − t) für
0 <t≤ π
Erstellen Sie eine Scilab-Funktion fourier_f.sci, die für beliebige t-Werte den Funktionswert der periodischen
Funktion berechnet. Ein zweites Ausgabeargument soll die Periode T zurückgeben.
2
3
4
5
6
7
8
9
f u n c t i o n [ f ,T] = f o u r i e r _ f ( t )
//
// i n p u t :
// t . . . v e c t o r w i t h t v a l u e s
//
// o u t p u t :
// f
. . . vector with f ( t ) values
// T . . . p e r i o d
scilab/fourier_f.sci
Testen Sie die Funktion durch
−−> t = l i n s p a c e ( − 6 , 1 2 ) ;
−−> p l o t ( t , f o u r i e r _ f ( t ) )
3.2 Fourier-Koeffizienten
Die Fourier-Koeffizienten ak und bk einer Funktion f mit Periode T und Kreisfrequenz ω =
folgenden Formeln berechnen:
Z
ak =
2
T
Z
bk =
2
T
T
2
f (t) cos(k ω t) d t,
k = 0, 1, 2, . . .
f (t) sin(k ω t) d t,
k = 1, 2, . . .
2π
T
kann man mit den
− T2
T
2
− T2
Die Integrale für die Fourier-Koeffizienten sollen mithilfe der summierten Sehnentrapezregel numerische angenähert
werden.
Bei der summierten Sehnentrapezregel wird das bestimmte Integral einer Funktion f im Intervall [a, b]
Z b
I=
f (x) d x
a
durch eine Summe von n Trapezflächen angenähert. Die
Trapeze haben eine Grundseite der Länge
b−a
.
h=
n
Prof. Dr. Jürgen Koch
2
27. November 2015
Mathematik Labor Projekt Fourier-Reihe
Zur Berechnung der Trapezflächen benötigt man die Funktionswerte an n + 1 Stellen. Die Formel zur Berechnung
der Summe der Trapezflächen lautet:
1
1
I≈h
f (a) + f (a + h) + f (a + 2h) + . . . + f (b − h) + f (b) .
2
2
Bestimmen Sie numerische Näherungswerte für die Fourier-Koeffizienten für k = 1, 2, . . . , 10, mithilfe der Sehnentrapezregel für n = 1000.
3.3 Fourier-Reihe
Aus den reellen Fourier-Koeffizienten ak und bk erhält man das trigonometrische Polynom vom Grad n
n
pn (t) =
a0 X
+
(ak cos (k ω t) + bk sin (k ω t)) ,
2
ω=
k=1
2π
.
T
Visualisieren Sie das trigonometrische Polynom vom Grad 10.
3.4 Spektren
Aus den komplexen Fourier-Koeffizienten
c0 =
a0
,
2
ck =
ak − i bk
, k = 1, 2, 3, . . .
2
ergibt sich das Betragsspektrum |ck | und das Phasenspektrum arg(ck ). Stellen Sie diese Spektren grafisch dar.
4 Zusatzaufgabe
Das Lösen der Zusatzaufgabe erfordert fundierte Kenntnisse im Umgang mit Scilab. Die Zusatzaufgabe ist nur für
diejenigen gedacht, die aus eigenem Interesse tiefer in die Materie einsteigen wollen!
Erstellen Sie eine Simulation, die zeigt, wie sich das trigonometrische Polynom mit wachsendem Grad immer besser
an die Funktion annähert. Testen Sie die Simulation für verschiedene periodische Funktionen.
Prof. Dr. Jürgen Koch
3
27. November 2015

Download Report