x - Mathematisches Institut

Vorlesung Mathematik für Physiker
Analysis 1
Sommersemester 2016
Hans-Peter Gittel
Universität Leipzig
Mathematisches Institut
Übungsaufgaben (7. Serie)
Abgabetermin: 25.05.2016
25. a) Sei R = R(u, v) eine reelle rationale Funktion in den zwei Variablen u, v, d.h.
∑n ∑m
i j
i=1
j=1 aij u v
∑
∑
R(u, v) = p
,
(aij , bkl ∈ R).
q
k l
k=1
l=1 bkl u v
∫
Zeige, dass sich Integrale vom Typ R(sin x, cos x) dx durch die Substitution t = tan( x2 )
und unter Verwendung von Additionstheoremen für Winkelfunktionen auf die Berechnung von unbestimmten Integralen über reelle rationale Funktionen in der Variablen t
zurückführen lassen.
b) Berechne die unbestimmten Integrale
∫
dx
,
1 + 3 sin x
∫
cos x dx
.
1 + 3 sin x
26. Zerlege folgende komplexe rationale Funktionen in Partialbrüche (nach eventuell notwendiger Polynomdivision)
a)
z 7 + (1 + 4i)z 5 + 4iz 3 + z − 1
,
z5 + z3
27. Berechne die unbestimmten Integrale
∫ 5
x − 2x4 + 3x2 + x + 1
a)
dx ,
x3 + 1
b)
∫
b)
1
z3
−
iz 2
−z+i
.
3x2 − 14x + 8
dx .
(x − 4)2 (x + 6)
28. Berechne die Riemannsche Zwischensumme zur Funktion f (x) = x12 bei einer beliebigen Zerlegung des Intervalls [a, b], 0 < a < b durch Teilpunkte a = x0 < x1 < . . . < xn = b
in n Teilintervalle. Als Zwischenwerte ξk ∈ [xk−1 , xk ] seien dabei die geometrischen Mittel
der jeweiligen Teilpunkte gewählt.
(Hinweis: Für zwei positive Zahlen α, β bezeichnet 12 (α + β) das arithmetische Mittel
√
und αβ das geometrische Mittel dieser Zahlen.)

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