4. Übungsblatt - Technische Universität Braunschweig

Technische Universität
Braunschweig
Institut für Physikalische und
Theoretische Chemie
Hans-Sommer-Str. 10, 38106 BS
Prof. Dr. Sigurd Bauerecker
M.Sc. Dominik Pfennig
[email protected]
Mathematische Methoden der Chemie 1 – WS 2015/16
4. Übungsblatt (26./27.11.2015)
www.tu-braunschweig.de/pci/research/bauerecker/lehre/index.html
Themen: Fundamentalsatz der Algebra, Hyperbelfunktionen, Umkehrfunktionen
Aufgabe mit T: Taschenrechner ist hier erlaubt. Ansonsten sind alle Aufgaben ohne Hilfsmittel zu lösen!
1. Lösen sie folgende Gleichungen im Bereich der komplexen Zahlen (geben sie die Lösungen in der algebraischen Form a + b · i an):
√
a) x2 = −1
b) x3 = −1
c) x4 = 16
d) x2 + 3 = 1 + 2 3 · i
2. Stellen Sie folgende Polynome als Produkt von Linearfaktoren dar:
a) x2 − 2x + 1
b) x2 + 1
c) 2x3 + 10x2 + 14x − 26
3. Bestimmen Sie die zu den folgenden Funktionen gehörenden Umkehrfunktionen. Schränken Sie dabei wenn
nötig den Definitionsbereich der Funktionen sinnvoll ein.
a) t1 (ω ) = − ϕ3 · e−4·ω
4.
b) t2 ( ϕ) = − ϕ3 · e−4·ω
c) λ(r ) = 2 sin(r + π2 ) − 1
a) Führen Sie die Hyperbelfunktionen auf die trigonometrischen Funktionen zurück, indem Sie sinh(ix ),
cosh(ix ), tanh(ix ) und coth(ix ) mithilfe der Definitionen der Hyperbelfunktionen und der Eulerschen Formel berechnen.
b) Zeigen Sie ausgehend von der entsprechenden Beziehung aus a), dass für die Umkehrfunktion des
Kosinus gilt:
√
arccos( x ) = −i · ln( x + x2 − 1).
c) Berechnen Sie arccos(−1), arccos(0) und arccos(1) mit der in b) angegebenen Beziehung. Skizzieren
Sie die Funktion f ( x ) = arccos( x ) für x, f ∈ R.
5.
a) Leiten Sie aus der Definition der Funktion tanh( x ) die Definition ihrer Umkehrfunktion artanh( x ) ab.
Geben Sie Symmetrieeigenschaften, Nullstellen, Definitions- und Wertebereiche beider Funktionen
an. (Betrachten Sie beide Funktionen für diese Aufgabe als rein reellwertig.)
Die Geschwindigkeit v im Freien Fall mit Luftwiderstand (Newton-Reibung) in Abhängigkeit von der Zeit t
(t ≥ 0) ergibt sich über
gt
v0
v(t) = v E · tanh
+ artanh
.
vE
vE
Hierbei ist g = 9, 8 m
die Erdbeschleunigung. Nehmen Sie diese als konstant an.
s2
b) Berechnen Sie die Grenzwerte der Funktion v(t) für t → 0 und t → ∞. Wofür stehen die Größen v0
und v E ?
c) T Die Endgeschwindigkeit eines Fallschirmspringers betrage 56 ms . Welche Geschwindigkeit hat er
nach 10 Sekunden freiem Fall? Wie hoch wäre seine Geschwindigkeit ohne Luftwiderstand? Geben Sie
die Antworten in km
h an.

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