Themenübersicht

Analysis 2 – Themenübersicht
1. Hyperbelfunktionen, algebraische Identitäten, Eigenschaften, Potenzreihen, inverse Hyperbelfunktionen, Zusammenhang mit trigonometrischen Funktionen
2. Stammfunktionen, unbestimmtes Integral, das Theorem von Darboux, Linearität des Integrals
3. Stammfunktionen elementarer Funktionen, partielle Integration, Beispiele, ln(x), arctan(x)
4. Integration durch Substitution, logarithmische Ableitung, Beispiele
5. Integration rationaler Funktionen, die Partialbruchzerlegung, Integration von Teilbrüche
6. kanonische Substitutionen (Integrationsrezepte)
7. obere und untere Summen, oberes und unteres Integral, das Riemannsche Integral, Eigenschaften
8. Riemannsche Summen, Charakterisierungen der Integrierbarkeit, Oszillation einer Funktion, Oszillationssummen
9. Wichtige Klassen integrierbarer Funktionen: stetige und monotone Funktionen
10. Stammfunktionen und das Riemann-Integral,der Fundamentalsatz der Analysis (das Newton–Leibniz Theorem)
11. partielle Integration und Integration durch Substitution
12. die Wallis-Integrale, die Wallis-Formel, die Stirlingsche Formel
13. Verkettung integrierbarer Funktionen
14. gleichmäßige Konvergenz und das Integral
15. Uneigentliche Integrale, Konvergenz und absolute Konvergenz, das Integralkriterium für unendliche Reihen
16. Flächeninhalt, Bogenlänge, Volumen und Fläche von Rotationskörpern
17. trigonometrische Polynome, Fourier-Koeffizienten, Fourier-Reihen
18. punktweise und gleichmäßige Konvergenz von Fourier-Reihen, Summen von Fourier-Reihen
19. metrische Räume, konvergente und Cauchy-Folgen, Eigenschaften
20. Kugel, offene und abgeschlossene Mengen, Rand, Abschluss und Inneres einer Menge
21. stetige Abbildungen zwischen metrischen Räumen, äquivalente Formulierungen der Stetigkeit, Folgenstetigkeit,
Linearkombinationen und Verkettungen stetiger Abbildungen
22. abzählbare Mengen
23. der Satz von Cantor (über den Schnitt von abgeschlossenen Mengen)
24. Teilfolgen, Kompaktheit und Folgenkompaktheit, das Theorem von Heine–Borel (Charakterisierung von kompakten
Mengen in Rd )
25. der Satz von Weierstraß über Extrema von stetigen Funktionen, gleichmäßige Stetigkeit, der Satz von Heine über
gleichmäßige Stetigkeit.
26. Norm, normierte Vektorräume, Beispiele, euklidische Norm, Äquivalenz von Normen
27. Hölder-Ungleichung, Minkowski-Ungleichung, Cauchy–Schwarz-Ungleichung
28. Matrixnorm, elementare Eigenschaften (Submultiplikativität), Beispiele, Lipschitz-Stetigkeit linearer Abbildungen
29. Konvergenz in Rd
30. Grenzwerte von Funktionen in mehreren Veränderlichen, Grenzwerte entlang Geraden, Beispiele, Parametrisierung
durch Polarkoordinaten
31. Differenzierbarkeit in Rd , Eigenschaften, Ableitung von linearen Funktionen und weitere Beispiele
32. Kettenregel, Produktregel
33. partielle Ableitungen, die Jacobi-Matrix
34. hinreichende Bedingung für die Differenzierbarkeit mit Hilfe von partiellen Ableitungen
35. Gradient, geometrische Interpretation der Ableitung, Richtungsableitung
36. Der Mittelwertsatz (Lagrange), die Lagrangesche-Abschätzung
37. n-mal differenzierbare Funkionen, Clairault–Schwartz–Young-Theorem, die Hesse-Matrix
38. lokale Extremstellen, Notwendige bzw. hinreichende Bedingung für die Existenz lokaler Extremstellen, positiv/negativ definite Matrizen, der Satz von Sylvester–Hurwitz, Charakterisierung durch Eigenwerte
39. das Differential, die Taylor-Formel
40. Satz von der offenen Abbildung, lokale Umkehrbarkeit einer Funktion, Satz von der inversen Abildung, Satz von
der impliziten Funktion, Ableitungen implizit gegebener Funktionen
41. Extremstellen mit Nebenbedingungen, der Lagrangesche Multiplikator, Anwendung: Hauptachsentransformation
(Diagonalisieren einer symmetrischen Matrix)
42. Quader, inneres und äußeres Jordan-Maß (Inhalt, Volumen usw.), Eigenschaften
43. Jordan–messbare Mengen, Charakterisierung durch den Rand
44. Zusammenhang mit Riemann-Integral
45. obere und untere Summen, oberes und unteres Integral, Integrierbarkeit
46. der Satz von Fubini, Integration auf Normalgebiete
47. Zusammenhang zwischen Volumina und Integrale
48. Jordan-Nullmengen
49. Translation- und Isometrie-Invarianz des Jordan–Maßes
50. Der Transformationssatz, die Jacobi-Determinante
51. Polarkoordinatensubstitution, Zylinderkoordinaten

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