Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitstheorie Übungsblatt 11

M. J. Sauer
Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitstheorie
WS 2014 / 2015
Übungsblatt 11
Abgabe: 16.01.15, 10:00 Uhr, Briefkästen 7, 8, 9 (Fliednerstraße)
Aufgabe 1 (Erwartungswert einer ZV)
Eine Schulklasse veranstaltet ein Fest, um mit dem Reinerlös die Kosten ihrer Wanderfahrt senken
zu können. Hierbei wird folgendes Spiel angeboten: Jeder Spendenfreudige darf mit einem Würfel
fünfmal würfeln. Dafür zahlt er einen Euro. Für jede geworfene Sechs bekommt er 50 Cent ausbezahlt.
(a) Welchen Gewinn können die Schüler bei einem idealen Würfel im Schnitt pro Spiel erwarten?
(b) Wie viele Spiele müssen gemacht werden, um etwa 200,- Euro Gewinn zu erzielen?
Aufgabe 2 (Zufallsvariable, Erwartungswert)
Das Ergebnis eines Roulette-Spiels ist eine der Zahlen 1 bis 36 oder die Null, die alle mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftreten. Bei den so genannten einfachen (Gewinn-)Chancen wird auf
Rouge (rot, 18 rote Zahlen) oder Noir (schwarz, 18 schwarze Zahlen), Impair (ungerade) oder Pair
(gerade), Manque (Zahlen von 1 bis 18) oder Passe (Zahlen von 19 bis 36) in den entsprechend
gekennzeichneten Feldern gesetzt. Bei Gewinn wird der Einsatz und zusätzlich derselbe Betrag
ausgezahlt.
Bei Auftreten der Null (Grün) fällt die Hälfte des Einsatzes der Bank zu.
Ein Spieler mit dem Startkapital von 700 Euro spielt beim Roulette nach folgendem System. Er
setzt immer auf Rot und beginnt mit einem Einsatz von 100 Euro. Er verdoppelt den Einsatz so lange, bis er gewinnt. Bei einem Gewinn hört der Spieler sofort auf zu spielen.
Beantworten Sie unter diesen Voraussetzungen die folgenden Fragen:
(a)
(b)
(c)
(d)
Wie viele Spielfolgen kann der Spieler im ungünstigsten Fall durchhalten?
Wie groß sind die möglichen Gewinne?
Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird er bei diesem System gewinnen?
Wie groß ist der Erwartungswert insgesamt bei diesem System?
Aufgabe 3 (ZV mit abzählbar-unendlicher Wertemenge)
Wir betrachten das folgende Zufallsexperiment:
Man führt eine Folge abzählbar vieler Würfe eines Oktaeders durch.
Sei X die Zufallsvariable, welche die Nummer desjenigen Oktaederwurfes angibt, bei dem zum ersten Mal eine Acht fällt.
(a) Bestimmen Sie die W - Verteilung der Zufallsvariablen X !
(b) Bestimmen Sie X ( Ω ) !
5
(c) Berechnen Sie
∑ P( X = i)
!
i =1
(d) Zeigen Sie mittels konkreter Rechnung, dass gilt PX ( X ( Ω ) ) = 1 !
(e) Sei A = {u ∈ X ( Ω ) u ist ungerade Zahl} . Berechnen Sie PX ( A) !
(f) Berechnen Sie E ( X ) !
[Hinweis: Sie dürfen (und müssen) die folgende Formel benutzen:
∞
1
i ⋅ q i −1  =
für q < 1 .]
∑
2
i =1
(1 − q )
Aufgabe 4 (Binomialverteilung)
Teil (a):
Erfahrungsgemäß keimen 5 % der Zwiebeln einer bestimmten Blumenzwiebelsorte nicht. Diese
Zwiebelsorte wird in Zwanzigerpackungen verkauft. Es wird eine Keimgarantie von 90 % gegeben.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Packung dieses Garantieversprechen nicht erfüllt?
Teil (b):
1
Bei einem Bernoulli-Experiment sei die Treffer-Wahrscheinlichkeit p = .
3
Wie oft muss dieses Bernoulli-Experiment mindestens durchgeführt werden, damit die Wahrscheinlichkeit, dass bei dieser Bernoulli-Kette mindestens ein Treffer vorhanden ist, mindestens bei 75 %
liegt?

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