Série 7 - ANMC

Algèbre linéaire pour GM
Prof. A. Abdulle
Mardi 28 octobre 2014
EPFL
Série 7
Exercice 1
Calculer les produits suivants en utilisant la multiplication par bloc :
a)







1 0
0 1 3



 1 0 4  0 1 
0 1 1
1 1
b)
0 1 2
1 1 2
!
0 1 2
1 1 2
!
1 2


 3 4 
0 1
c)
1 2


 3 4 
0 1
Exercice 2
a) Montrer qu’une matrice partitionnée triangulaire inférieure
!
A11 0
A=
,
A21 A22
avec A11 matrice de taille n × n et A22 matrice de taille m × m, est inversible si et
seulement si A11 et A22 sont inversibles.
b) Montrer que les matrices partitionnées
I 0
U=
X I
!
et
I Y
V =
0 I
!
,
où I est la matrice identité n × n, sont toujours inversibles. Donner l’inverse.
1
Exercice 3
Soient A11 et A22 des matrices carrées.
a) On suppose que A11 est inversible. Déterminer X, Y et S satisfaisant
!
A11 A12
I 0
A=
=
A21 A22
X I
!
A11 0
0 S
!
I Y
0 I
!
,
où le produit matriciel de droite est compatible avec la multiplication par bloc.
b) On suppose que A11 et A sont inversibles. Montrer que S est inversible.
Remarque :
La matrice S est appelée le complément de Schur.
Exercice 4
i) Calculer le déterminant suivant :
6
0
3
4
0
0
2
3
5
0
1
2
.
0
1
0
1
ii) Calculer les déterminants suivants :
a
b
a
b
a
b
a+b a+b a+b
,
a
b
0 a a + b c .
a
b
a iii) Calculer le déterminant des matrices suivantes. Comment le déterminant dépend t-il
de l’angle ϕ ? Pourquoi ?
!
cos ϕ − sin ϕ
A=
sin ϕ cos ϕ




iv) Soit A = 
4 3 0 1
2 1 4 0
4 18 17 23
49 1 72 10






et B = 



0
2
1
3
1 18 0
0 1 0
0 21 0
4 1 18



.

Calculer det (AB).
Exercice 5
Calculer le déterminant des matrices élémentaire suivantes. Indiquer à quelles opérations
élémentaires chaque matrice correspond.




A=
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
α
0
0
0
1



,





B=
0
1
0
0
1
0
0
0
2
0
0
1
0
0
0
0
1



,





C=
α
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1



.

Exercice 6
Soit A une matrice n×n. Montrer que si deux lignes de A sont identiques, alors det (A) = 0.
Que peut-on dire si deux colonnes sont identiques?
Exercice 7
Soit




A=
a11
a21
a31
a41
a12
a22
a32
a42
a13
a23
a33
a43
a14
a24
a34
a44



.

a) Calculer les cofacteurs C13 , C31 , C41 , C24 .
b) Développer le déterminant en cofacteurs par rapport à la troisième ligne.
Exercice 8
Montrer:
a) Si A est une matrice inversible, alors det (A−1 ) =
1
.
det A
b) Si A et Q sont des matrices inversibles de taille n × n alors det (QAQ−1 ) = det A.
c) Si U est une matrice carrée telle que U T U = I alors det U = ±1.
d) Si A est une matrice carrée telle que det (A3 ) = 0 alors A est non inversible.
Exercice 9
(preuve du Thm. 1 Sect. 3.2 du cours)
Soit A une matrice carrée de taille n et E une matrice élémentaire de taille n. Montrer
det (EA) = det E · det A, où


1





si E est l’operation "addition sur une ligne de
A un multiple d’une autre ligne de A”;
det E = 

−1 si E permute deux lignes de A;




α
si E multiplie une ligne de A par α.
Exercice 10
Résoudre les systèmes linéaires suivants en utilisant la règle de Cramer:
a)
x1 − 2x2 + x3 =
0
2x2 − 8x3 =
8
−4x1 + 5x2 + 9x3 = −9
3
b)
x1 + 4x2 + x3 = 1
2x1 + 3x2 + x3 = 2
3x1 + 7x2 + 2x3 = 1
Exercice 11
i) Montrer que si A est une matrice de taille 2 × 2, alors l’aire du parallélogramme
déterminé par les colonnes de A est égale à | det A|.
Indication: Faire des opérations sur les colonnes de A (ou les lignes de AT ).
ii) Soit a1 et a2 deux vecteurs non nuls de R2 . Montrer que l’aire du parallélogramme
délimité par les vecteurs a1 et a2 est la même que l’aire du parallélogramme délimité
par a1 et a2 + c · a1 , où c ∈ R est un scalaire.
Exercice 12
a) Montrer que l’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n, a0 +a1 t+...+an tn ,
où a0 , ..., an ∈ R est un espace vectoriel.
b) Montrer que l’ensemble des polynômes à coefficients réels est un espace vectoriel.
c) Montrer que l’ensemble des polynômes de degré 2 n’est pas un espace vectoriel.
d) Montrer que l’ensemble des suites (..., y−3 , y−2 , y−1 , y0 , y1 , y2 , ...) avec yk ∈ R muni de
l’addition et la multiplication par un scalaire (comme définies en cours) est un espace
vectoriel.
e) Montrer que l’espace vectoriel défini en a) et b) est un sous-espace vectoriel de l’espace
des fonctions f : R → R muni de l’addition et la multiplication par un scalaire (comme
définies en cours).
f) Montrer que C (R) est un espace vectoriel (muni de l’addition et la multiplication par
un scalaire, comme définies en cours).
g) Montrer que C 1 (R) = {f : R → R, f est dérivable de dérivée continue} est un sousespace vectoriel de C (R) (muni de l’addition et la multiplication par un scalaire,
comme définies en cours).
Exercice 13
Indiquer pour chaque énoncé s’il est vrai ou faux et justifier brièvement votre réponse.
(a) Si B est obtenue en intervertissant deux lignes de A, alors det B = det A.
(b) Si les colonnes de A sont linéairement dépendantes, alors det A = 0.
(c) Le déterminant de A est le produit des éléments diagonaux de A.
(d) Soit A une matrice carrée telle que det(A13 ) = 0. Alors A est inversible.
4
Exercice 14
Indiquer pour chaque énoncé s’il est vrai ou faux et justifier brièvement votre réponse.
(a) Si deux lignes d’une matrice de taille 7 × 7 sont les mêmes, alors det A = 0.
(b) Si A est une matrice carrée dont le déterminant vaut 2, alors det(A3 ) = 6.
(c) Si A et B sont des matrices de taille n × n telles que det A = 2 et det B = 5, alors
det(A + B) = 7.
(d) Si A est une matrice carrée triangulaire inférieure, alors A est inversible.
Informations générales, séries et corrigés: cf. http://anmc.epfl.ch/Algebre.html.
Les exercices de type vrai ou faux proviennent du livre: D.C. Lay. Algèbre linéaire : théorie,
exercices et applications. De Boeck, Bruxelles, 2005.
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