PC 8

Math´ematiques - MAT 553
PC du 17 novembre 2014
Topologie diff´
erentielle
– Feuille 8 –
1. Montrer que l’espace projectif r´eel RPn est orientable si et seulement si n est impair.
2. a) Montrer que CPn \ {x} a le mˆeme type d’homotopie que CPn−1 .
b) En utilisant la suite exacte de Mayer-Vietoris et une r´ecurrence sur n, montrer que
(
R,
k = 2p, 0 ≤ p ≤ n
H k (CPn ) =
0,
sinon.
c) Soit i : CPn−1 → CPn l’inclusion d´efinie par
i([x0 : . . . : xn−1 ]) = [x0 : . . . : xn−1 : 0].
Montrer que i∗ : H 2 (CPn ) → H 2 (CPn−1 ) est un isomorphisme.
3. Montrer que l’ensemble Vn,p (R) des p-uplets orthonorm´es de vecteurs de Rn est une sousvari´et´e de classe C ∞ de (Rn )p . Trouver sa dimension.
4. On note Xr l’ensemble des matrices de Mm,n (R) de rang r.
a) Soit A une matrice carr´ee d’ordre r inversible. Montrer que la matrice
A B
∈ Mm,n (R)
C D
appartient a` Xr si et seulement si D = CA−1 B. Indication: On cherchera une matrice
inversible P ∈ Mm (R) telle que
A B
PM =
.
0 ∗
b) Montrer que Xr est une sous-vari´et´e diff´erentiable de Mm,n (R) et calculer sa dimension.
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