2A - DM7 : à rendre le 12 mai 2014

2A - DM7 : à rendre le 12 mai 2014
énoncé à coller sur la feuille
Exercice 1 :
Montant des achats(M)
Dans un magasin, les modes de paiement et les monMode de paiement
M É 200
M > 200
Total
tants des achats sont répartis de la façon suivante :
Espèces
– 50% des achats ont été payés par chèque ;
– 70% des achats sont d’un montant inférieur ou égal à
Chèque
200edont 20% sont réglés en espèces ;
Carte
– 15% des achats sont réglés par carte et sont d’un
Total
montant inférieur ou égal à 200e ;
– 2% des achats sont d’un montant supérieur à 200eet sont réglés en espèces.
1. Complétez le tableau ci-après.
2. On prend au hasard un bordereau d’achat. Calculez la probabilité des évènements :
A :"l’achat dépasse 200e" ;B :"l’achat est réglé par carte ou par chèque " ;
C :"l’achat est réglé par carte " ;.
3. Énoncez les évènements A ∩C et A ∪C .
4. Calculez les probabilités des évènements A ∩C et A ∪C .
Exercice 2 :
Soit C un cercle de centre O et de rayon 1.
Le point A appartient à C tel que : I
O A = 30◦ .
1. Construire le point H , projection orthogonale de A sur (OI ), puis A 0 ,
symétrique de A par rapport à H.
1
2. Prouvez que : AH = , en utilisant la nature de la droite (OH ) ; puis,
2
p
3
prouvez que : OH =
2
3. Calculez en utilisant le triangle O AH ,les valeurs exactes de cos(30◦ ),
si n(30◦ ) et t an(30◦ ).

4. Donnez la mesure de O
AH
5. Calculez en utilisant le triangle O AH ,les valeurs exactes de cos(60◦ ),
si n(60◦ ) et t an(60◦ ).
6. Donnez la valeur exacte du périmètre de C .
Exercice 3 :
1. a) Calculez les valeurs exactes de B H , AH et HC .( Utilisez les
valeurs exactes calculées dans l’exercice précédent)
p ¢
¡
b) Déduisez-en que : BC = 4 1 + 3
p ¢
¡
2. Démontrez que : ai r e (ABC ) = 8 3 + 3
p
2
Données supplémentaires : cos(45◦ ) = si n(45◦ ) =
2
DM7 :correction
Exercice 1 :
1. Voir ci-contre.
30
3
78
39
2. P (A) =
=
; P (B ) =
=
;
100
10
100
50 Mode de paiement
28
7
P (C ) =
=
.
100 25
Espèces
3. A ∩ C :"L’achat est payé par carte et est
Chèque
supérieur à 200e"
Carte
A ∪ C :"L’achat est payé par carte ou est
Total
supérieur à 200e"
13
4. P (A ∩C ) =
100
Montant des achats(M)
M É 200
M > 200
Total
20
2
22
35
15
50
15
13
28
70
30
100
P (A ∪C ) = P (A) + P (C ) − P (A ∩C ) = 0, 3 + 0, 28 − 0, 13 = 0, 45
Autre version de cet exercice :
1. Voir ci-contre.
30
3
84
21
2. P (A) =
=
; P (B ) =
=
;
100
10
100
25 Mode de paiement
34
17
P (C ) =
=
.
100 50
Espèces
3. A ∩ C :"L’achat est payé par carte et est
Chèque
supérieur à 200e"
Carte
A ∪ C :"L’achat est payé par carte ou est
Total
supérieur à 200e"
19
4. P (A ∩C ) =
100
Montant des achats(M)
M É 200
M > 200
Total
14
2
16
41
9
50
15
19
34
70
30
100
P (A ∪C ) = P (A) + P (C ) − P (A ∩C ) = 0, 3 + 0, 34 − 0, 19 = 0, 45
Exercice 2 :
1. Voir ci-contre.
2. Je sais : H est la projection orthogonale de A sur (OH ) et A 0 est le symétrique de A par rapport
à H.
Donc : H est le milieu de [A A 0 ] et (A A 0 ) est perpendiculaire à (OH ).
D’après : tout point équidistant des côtés d’un angle appartient à la bissectrice de
cet angle.

Donc : (OH ) est la bissectrice de
AO A 0 , soit :
AOH = HO
A 0 = 30◦ .
0
De plus : O A = O A ( la symétrie conserve les longueurs). Le triangle AO A 0 est
isocèle en O, d’angle au sommet 60◦ . AOA0 est donc un triangle équilatéral.
1
Donc : A A 0 = O A = 1.D’où : AH = .
2
Calcul de OH en utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle O AH rectangle en H :
p
1
3
3
O A 2 = AH 2 + O 2 ⇔ OH 2 = O A 2 − AH 2 = 1 − = . Donc : OH =
4 4
2
p
3
1
3. Je sais : O AH est rectangle en H tel que :
AOH = 30◦ ; OH =
; AH = .
2
2
p
OH
3
AH
1
Donc : cos
AOH =
⇔ cos30◦ =
; si n
AOH =
⇔ si n30◦ = .
OA
2
OA
2
p
si n30◦ 1
2
3
= × p ⇔ Tan30◦ =
On en déduit :Tan30◦ =
◦
cos30
2
3
3

4. Dans le triangle O AH rectangle en H : O
AH = 90◦ −
AOH = 60◦ .
p
1
3
◦

5. Je sais : O AH est rectangle en H tel que : O AH = 60 ; OH =
; AH = .
2
2
p
1
AH
OH
3

⇔ cos60◦ = ; si n O
⇔ si n60◦ =
Donc : cos O
AH =
AH =
.
OA
2
OA
2
p
p
si n60◦
3 2
◦
◦
On en déduit :Tan60 =
=
×
⇔
Tan60
=
3
cos60◦
2
1
6. Soit P la valeur exacte du périmètre de C : P = 2πR = 2π
Exercice 3 :
1. a) Dans le triangle B AH rectangle en H : cos
AB H =
BH
BH
1
BH
⇔ cos60◦ =
⇔ =
⇔
AB
8
2
8
BH = 4
p
p
AH
AH
3 AH
◦
si n
AB H =
⇔ si n60 =
⇔
=
⇔ AH = 4 3
AB
8
2
8
p
AHC est la moitié d’un carré, donc : AH = HC = 4 3
³
p ´
p
b) Donc : BC = B H + HC = 4 + 4 3 = 4 1 + 3
p
p
³
p ´
p
p
AH × BC 4 3 × 4(1 + 3)
2. ai r e (ABC ) =
=
= 2 3 × 4(1 + 3) = 8 3 + 3
2
2

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