3e_brevet_blanc_mai_2014_correction

BREVET BLANC
Epreuve de MATHEMATIQUES
15 mai 2014
Proposition de correction
EXERCICE 1: 5 POINTS
On construit un cryptage de la façon suivante :
Nombre
1. Quel est le code de 15 ?
La 15 ème letttre de l'alphabet est O.
Le code de 15 est donc: O
1
2
A
B
…...
26
entier
Code
Z
2. Quel est le nom commun formé en codant chacun des nombres suivants ?
(indice : c'est le sentiment que certains éprouvent peut-être aujourd'hui)
2
1, 26×( 10−2 )
 Nombre 1 :
0, 6×10−5
1,26×10−2 ² 1,26
=
×10−4×105=2,1×101=21
21 correspond à la lettre U
−5
0,6
0,6×10
 Nombre 2 : PGCD (1260 ; 198)
On utilise l'algorithme d'Euclide:
a
b
r
a=bq+r
1260
198
72
1260=198×672
198
72
54
198=72×254
72
54
18
72=54×118
54=18×30
54
18
0
Le PGCD est le dernier reste non nul. PGCD(1260,198)=18
18 correspond à la lettre R
4 3 1
+ ÷
5 5 7
4 3 1 4 3 7 4 21 25
 : =  × = 
=
=5
5 5 7 5 5 1 5
5
5
 Nombre 3 :
 Nombre 4 : L'image de -4 par la fonction f : x → 3 x 2 8 x
f −4  =3× −4  ² 8×−4 =3×16−32 =48−32=16
Avec ces quatre lettres, on peut former le mot: PEUR.
5 correspond à la lettre E
16 correspond à la lettre P
EXERCICE 2: 6 POINTS
On dispose de 16 pochettes surprises d'aspect exterieur identique dont les contenus sont
énoncés ci-dessous:
5 pochettes avec:
 2 stylos
 1 porte-clés
4 pochettes avec:
 1 balle
 1 stylo
 1 porte-clés
4 pochettes avec:
 2 balles
 1 stylo
3 pochettes avec:
 1 balle
 2 porte-clés
1. On prend une pochette au hasard, on l'ouvre, et on regarde le nombre de balles qu'elle contient.
a. Combien cette expérience aléatoire comporte-t-elle d'issues?
Cette experience comporte 3 issues : La pochette ouverte peut contenir 0, 1 ou 2 balles.
b. Est-ce une situation d'équiprobabilité? Pourquoi?
Ce n'est pas une situation d'équiprobabilité:
5 pochettes contiennent 0 balle, 7 pochettes contiennent 1 balle, et 4 pochettes contiennent 2 balles.
2. Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants:
Il y a 16 pochettes au total.
C: « La pochette ouverte contient deux balles ou deux stylos »
9
(5 pochettes contiennent 2 stylos et 4 pochettes contiennent 2 balles)
16
5
p  E =
E: « La pochette ouverte ne contient pas de balle »
16
p C =
H: « La pochette ouverte contient 1 balle exactement »
O: « La pochette ouverte contient au moins 1 balle »
p  H =
p O=
7
16
11
16
P: « La pochette ouverte contient au moins 1 balle ou au moins 1 porte-clés »
p  P =
16
=1
16
3. Ranger les évènements précédents dans l'ordre décroissant de leur probabilité.
11 9
7
5
Quel mot apparaît? 1   
On obtient le mot: POCHE
16 16 16 16
4. Que peut-on dire des évènements E et O? Les évènements E et O sont dits
complémentaires, ou bien contraires.
5. Que peut-on dire de l'évènement P? L'évènement P est un évènement certain.
6. Inventer un évènement S impossible.
Un évènement impossible peut être « La poche ouverte contient 3 balles exactement »
EXERCICE 3: 6 POINTS
Si on note m la masse d'un objet en kg et P son poids en Newton, on a:
P=m×g où g est l'acceleration de la pesanteur.
Partie A:
A Paris,
g =9,806 N / kg .
Au sommet de l'Everest,
g =9,78 N /kg
1. Calculer le poids d'un objet de masse 7 kg à Paris, puis au sommet de l'Everest.
A Paris: P=7×9,806=68,642 N
Au sommet de l'éverest: P=7×9,78=68,46 N
2. Une pomme à Paris et une orange au sommet de l'Everest ont toutes les deux un poids
de 4N . Lequel de ces deux fruits a la plus grande masse?
C'est la pomme qui a la plus grande masse. En effet,
P
4
≈0,408 kg
Masse de la pomme de Paris: m= =
g 9,806
P
4
≈0,409 kg
Masse de l'orange de l'Everest: m= =
g 9,78
Partie B:
Sur la lune, la valeur de
g est six fois moindre que sur la terre. Si on note
x le poids d'un objet
1
sur la terre, son poids sur la lune est donc donné par la fonction f , avec f : x  x
6
1. Calculer l'image de 21 par f . Interpréter le résultat.
1
21
f 21= ×21= =3,5 L'image de 21 par
6
6
f est 3,5.
Un objet de 21 N sur la terre pèse 3,5N sur la lune.
2. Calculer l'antécédent de 18 par
f . Interpréter le résultat.
1
×x=18 , soit x=18×6=108 L'antécédent de 18 par f est 108.
6
Un objet qui pèse 18N sur la lune pèse 108 N sur terre.
3. Que peut-on dire de la représentation graphique de la fonction f dans un repère?
On cherche
x tel que
Pourquoi?
La représentation graphique de f dans un repère sera une droite qui passera par l'origine, car
f est une fonction linéaire de coefficient 18 (de la forme x a×x avec a=18 .
EXERCICE 4: 6 POINTS
[HO] est un segment de 9,6 cm.
(C) est le cercle de diamètre [HO] et S est un point de (C) tel que
 =42 °
OHS
1. Faire une figure que l'on complétera au fur et à mesure
2. a. Montrer que le triangle SHO est rectangle en S.
Le triangle SOH est un triangle inscrit dans un cercle, dont un côté [OH] est un diamètre du
cercle, c'est donc un triangle rectangle en S.
b. Calculer OS au millimètre près
SHO est un triangle rectangle en S (d'après la question précédente).
On peut donc utiliser la trigonométrie:
SO

sin SHO=
HO
SO
sin 42=
9,6
SO=9,6 sin 42≈6,4 cm
SO ≈ 6,4 cm
3. a. Sur la demi-droite [HS) placer le point M tel que M ne soit pas un point du
segment [HS] et tel que SM = 5,6 cm
b. Calculer la mesure de l'angle

SOM
au degré près.
SOM est un triangle rectangle en S
On peut donc utiliser la trigonométrie:
 = SM
tan SOM
SO
 = 5,6
tan SOM
6,4
 ≈ 41,18°

SOM
SOM
≈ 41°
c. La droite (MO) est-elle tangente au cercle (C) en O? Justifier la réponse
 = HOS
  SOM

HOM
 =180−90−42=48 ° car la somme des mesures des angles d'un triangle est égale à 180°.
HOS
 ≈ 41°
SOM
 ≈4841≈89 °
Donc HOM
La droite (OM) n'est donc pas perpendiculaire au rayon [HO] du cercle (C) .
(MO) n'est pas tangente au cercle (C)
EXERCICE 5: 4 POINTS
En se retournant lors d’une marche arriere,
le conducteur d’une camionnette voit le sol
a 6 metres derriere son camion.
Sur le schema, la zone grisee correspond a
ce que le conducteur ne voit pas lorsqu’il
regarde en arriere.
On donne : (AE) // (BD)
AE = 1,50 m
BD = 1,10 m
EC = 6m
Calculer DC.
Dans le triangle AEC, B appartient à [AC] et D appartient à [CE].
De plus, (AE) // (BD).
Donc, d’après le théorème Thalès :
EC AE
=
CD BD
CD=
EC ×BD
AE
CD=
6×1,10
1,50
CD=4,4 cm
[CD] mesure 4,4 m.
En déduire que ED = 1,60 m.
ED= AC −DE
ED=6−4,4=1,6
[ED] mesure 1,60 m
Une fillette mesure 1,10 m. Elle passe à 1,40 m derrière la camionnette.
Le conducteur peut-il la voir ? Expliquer.
BD=1,10 m (hauteur de la fillette).
D'après les questions précédentes, on a: ED=1,60 m
La fillette, de hauteur 1,10 m, passe donc entre E et D: elle se trouve dans la zone où le chauffeur
ne la voit pas.
EXERCICE 6: 5 POINTS
Le périmètre du trapèze noir est-il supérieur à 19 cm ?

Calcul de NO:
Les droites (NO) et (AI) sont perpendiculaires à
la droite (NA). Elles sont donc parallèles entre
elles.
Dans le triangle LAI, N et O appartiennent
respectivement à [AL] et [LI] et (NO) // (AI).
Donc, d'après le théorème de Thalès :
LO NL NO
=
=
LI LA AI
6
NO
=
donc
10,2 8,5
NO=
6×8,5
=5 cm
10,2
NO = 5 cm

Calcul de RI:
7
6
=
donc
LA 10,2
LA=
7×10,2
=11,9 cm
6
NA=11,9−7=4,9
Le triangle NAR est rectangle en R, on peut utiliser la trigonométrie.
cos 57=
AR
Donc
4,9
Par conséquent,

AR=4,9×cos 57=2,7
RI = AI − AR=8,5−2,7=5,8
Calcul de OI:
LI =LO OI donc OI =LI −OI =10,2−6=4,2

RI = 5,8 cm.
OI = 4,2 cm.
Calcul de NR:
Le triangle NRA est rectangle en A donc, d’après la propriété de Pythagore :
AN² = AR² NR²
NR² = AN² −AR²
NR² ≈4,9²−2,7²

NR ≈ 4,1 cm.
Périmètre du trapèze:
NOOI RI  NR=54,25,84,1≈19,1
Le périmètre est bien supérieur à 19 cm.
EXERCICE 7: 4 POINTS
On a calcule en colonne B les valeurs prises par l’expression
x² 2x , et dans la colonne C les valeurs prises par
l’expression
x6
pour les valeurs de x
ecrites dans la
colonne A.
Quelle formule faut-il ecrire dans la cellule B2 pour
obtenir 15 ? Ecris la bonne formule dans ta copie.
Dans la cellule B2 on doit écrire :
« = A2^2+2A2 » ou « =A2A2+2A2 ».
On souhaite resoudre l’equation x2 + 2x = x + 6.
a.
Margot dit que le nombre 2 est solution de
cette equation. A-t-elle raison ? Justifier la
reponse.
Oui, elle a raison car pour x = 2, les deux expressions
sont égales à 8.
b. Leo pense le nombre 18 est solution de
cette equation. A-t-il raison ? Justifier la
reponse.
On remplace x par 18 dans chaque expression :
18²2×18=360 et 186=24
c.
Donc Léo à tort.
Peut-on trouver une autre solution de cette equation ? Justifier la reponse.
A la ligne 6, on s’aperçoit que pour x = -3, les deux expressions sont égales à 3.
Il y a donc une autre solution à cette équation: -3

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