Devoir surveillé 06 Physique-Chimie Durée : 1h50 Calculatrice autorisée Lycée Jean Perrin - Classe de TSI 1 DS de Physique-Chimie 06 Consignes : Écrivez un MAXIMUM d’expressions littérales, ne remplacez pas tout de suite par des valeurs numériques, cette attitude sera sanctionnée. Essayez de sélectionner ce qui vous semble facile, les sujets de concours étant toujours longs. Enfin, les exercices sont complètement indépendants entre eux. I Chute d’échelle (d’après CCP TSI Physique 1) On considère une barre AB homogène, de centre d’inertie G, de longueur 2L, d’épaisseur négligeable et de masse M, glissant sous l’effet de son poids le long du mur. Le point A est en contact avec le sol (supposé parfaitement horizontal et servant d’axe (Ox)) et le point B est en contact avec le mur (supposé parfaitement vertical et servant d’axe (Oy)). On note V la norme de la vitesse du point A (V dépend du temps). Le → − vecteur vitesse du point A peut donc s’écrire − v→ A = V e x . On note θ l’angle orienté entre le mur et la barre. Le champ de pesanteur − − terrestre est supposé uniforme → g = −g→ e y . Le référentiel d’étude est supposé galiléen. 1) Etude cinématique − − 1. Exprimer le vecteur AB en fonction de L, θ,→ e x et → e y. −−→ −−→ −→ AB − 2. Montrer que le vecteur position du point G est tel que OG = OA + et l’exprimer alors en fonction de L, θ,→ ex 2 → − et e . y 3. Montrer que la trajectoire du point G est un arc de cercle dont on précisera le centre et le rayon. −−→ −→ −−→ − → 4. En remarquant que OB = OA + AB, déterminer la relation donnant la vitesse − v→ B du point B en fonction de vA , L, ˙ θ et θ. → − ˙ 5. Sachant que − v→ B est selon e y , montrer que θ = V . 2L cos θ − − ˙ → 6. A partir de la question 2 , déterminer la vitesse du point G en fonction de L, θ, θ, e x et→ e y. − − ˙ θ, ¨ → 7. Exprimer enfin l’accélération du point G en fonction de L, θ, θ, e et→ e . x 2) y Etude énergétique du mouvement −→ −→ On suppose que la barre est soumise uniquement à son poids et aux deux actions de contact RA et RB en A et B. On considère que ces deux actions de contact sont sans frottement. 8. Montrer que les puissances de ces actions de contact en A et B sont nulles. 9. Donner l’énergie potentielle de pesanteur Ep de la barre en fonction de M, g et yG (l’ordonnée du point G). On prendra par convention l’énergie potentielle nulle quand yG = 0. L’exprimer ensuite en fonction de M, g, L et θ. 10. Démontrer la formule précédente en utilisant la définition d’une énergie potentielle. 11. On admet que l’énergie cinétique du solide peut se mettre sous la forme EC = MV2 . 6 cos(θ)2 (a) Définir et calculer l’énergie mécanique de la barre. (b) Justifier très clairement que l’énergie mécanique de la barre est constante. (c) Donner la valeur de l’énergie mécanique en fonction de M, g et L si on suppose qu’au début du mouvement la barre est quasiment verticale avec une vitesse initiale quasiment nulle. 12. En déduire V2 en fonction de g, L, et θ au cours du mouvement. 13. A l’aide de la relation de la question 5, en déduire la relation donnant θ˙2 en fonction de g, L et θ. 14. Déduire de la question précédente l’équation différentielle associée à θ¨ en fonction de g, L et θ. 1 E. Van Brackel Lycée Jean Perrin - Classe de TSI 1 3) DS de Physique-Chimie 06 Etude dynamique du mouvement Le but de cette sous-partie est de trouver l’expression des actions de contact en A et B afin de vérifier si l’hypothèse de contact de la barre en A et B au cours du mouvement est bien valable. 15. A partir des questions 7, 13 et 14, montrer que 9 3 → 3 3 3 − → − − aG = g sin(θ) cos(θ) − ex+g cos(θ)2 − sin(θ)2 − cos(θ) → ey 4 2 2 4 2 − − 16. Appliquer le principe fondamental de la dynamique. Le projeter selon → e x et → e y pour en déduire RA et RB . 17. Montrer que RB peut s’annuler pour une valeur de θ que l’on déterminera. 1 18. On montre par un calcul similaire que RA peut s’annuler pour θ = arccos( ). Quelle conclusion peut-on en tirer de 3 ces deux derniers résultats quant à l’hypothèse de contact avec le mur et le sol ? II Modification des positions d’équilibre Considérons le système ci-contre, où une masse m, astreinte à se déplacer selon l’axe horizontal sans frottements, est attachée à un ressort de constante de raideur k et de longueur à vide l0 . L’autre extrémité du ressort est située à une distance l de l’axe horizontal. 1. Discuter qualitativement le nombre de positions d’équilibre et leur stabilité selon que l < l0 ou l > l0 . 2. On se place maintenant à une distance l quelconque donnée. On repère la position de la masse selon son abscisse x. Déterminer la longueur du ressort en fonction de x. 3. En déduire l’expression de l’énergie potentielle élastique associée à la force de rappel du ressort. 4. Représenter l’allure de la courbe d’énergie potentielle en fonction de x selon que l < l0 ou l > l0 , et faire le lien avec la première question. 5. Calculer alors les positions d’équilibre. On ne montrera pas leur stabilité. III Roue de vélo On considère une roue de bicyclette de rayon R et de masse m dont on étudie l’arrêt de la rotation par des freins à étrier. Chacun des deux freins exerce sur la jante une force de direction horizontale et d’intensité F, que l’on considèrera constante tant que la roue tourne. Le vélo étant retourné sur sa selle, la roue est en rotation autour de son moyeu fixe, noté (∆). On suppose que la liaison pivot est parfaite. 1. Quel est le modèle le plus approprié pour décrire le moment d’inertie de la roue : celui du cylindre plein ou celui du cylindre vide ? 2. On donne les moments d’inertie associés aux deux cas : J∆,plein = l’écart entre les deux valeurs. mR2 et J∆,vide = mR2 . Justifier qualitativement 2 3. Quel est le moment résultant sur l’axe (∆) ? On justifiera avec soin en précisant les moments éventuellement nuls avec la raison de cette nullité. 4. En déduire l’équation différentielle d’évolution de l’angle θ autour de l’axe. ˙ ˙ 5. Déterminer alors les expressions de θ(t) et θ(t) si à t=0, on a θ(0) = 0 et θ(0) = ω0 . 6. Déterminer l’intensité F de la force nécessaire pour arrêter la roue en un seul tour. On cherchera dans un premier temps à quelle condition la roue s’arrête, et quel angle la roue aura-t-elle parcouru. On donne, pour l’application numérique, R = 33 cm, m = 1.6 kg et ω0 = 17 rad.s−1 . 7. BONUS : Que faudra-t-il prendre en compte comme moments supplémentaires si l’on considère la situation usuelle où un cycliste, sur son vélo, veut freiner ? 2 E. Van Brackel